Resolva, em R, as seguintes inequaçōes, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
x^{3}-2 x^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x^3 - 2x^2 \ge 0
O conteúdo aqui é resolução de inequações polinomiais por fatoração e análise de sinal.

Passo 2

Fatoramos o polinômio no lado esquerdo da inequação:
x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2).

Passo 3

Identificamos os zeros de cada fator:
  • x^2 = 0 dá raiz x=0 (multiplicidade 2),
  • x-2 = 0 dá raiz x=2 (multiplicidade 1).

Passo 4

Como x^2\ge0 para todo x e só zera em x=0, o sinal de x^2(x-2) é determinado pelo sinal de x-2.
  • Se x-2\ge0, isto é, x\ge2, então x^2(x-2)\ge0.
  • Se x-2<0, isto é, x<2, então x^2(x-2)\le0, sendo estritamente negativo para x\neq0.
    Além disso, em x=0 o produto vale zero.
Portanto a inequação x^2(x-2)\ge0 é satisfeita exatamente quando x=0 ou x\ge2.

Resposta

\{\,0\}\cup[2,\infty)

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