Resolva as seguintes inequações ou sistemas de equações:
\operatorname{sen}(x)<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\operatorname{sen}(x) < \tfrac12.
Este é um problema de trigonometria que envolve encontrar onde a função \operatorname{sen}(x) fica abaixo de \tfrac12. Vamos usar o período da função seno (que é 2\pi) e os pontos em que \operatorname{sen}(x)=\tfrac12.

Passo 2

Primeiro, achamos as soluções da equação
\operatorname{sen}(x)=\tfrac12.
Sabemos que, num período, isto ocorre em
x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad\text{e}\quad x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para determinar onde \operatorname{sen}(x)<\tfrac12, observamos o comportamento de \operatorname{sen}(x) em cada período de comprimento 2\pi:
  • No intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\bigr], a função seno atinge valores \operatorname{sen}(x)\ge\tfrac12.
  • Fora desse intervalo, ou seja, antes de \tfrac{\pi}{6}+2\pi k e depois de \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k, tem-se \operatorname{sen}(x)<\tfrac12.

Passo 4

Portanto a solução da inequação é o complemento dos trechos onde \operatorname{sen}(x)\ge\tfrac12. Em notação de conjuntos, fica
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\notin[\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k]\text{ para todo }k\in\mathbb{Z}\}.

Resposta

\boxed{ x\in\mathbb{R}\setminus \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \bigl[\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\bigr] }

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