Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi.
\cos x \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\cos x \leq \tfrac12
no intervalo \,0 \le x \le 2\pi.
Conteúdo: entendimento do gráfico (ou círculo unitário) da função cosseno e localização de suas raízes e sinais.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos em que ocorre igualdade, isto é,
\cos x = \tfrac12.
No círculo unitário sabemos que isso ocorre em
x = \tfrac{\pi}{3} \quad\text{e}\quad x = 2\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3}.

Passo 3

Agora determinamos em quais regiões do intervalo [0,2\pi] temos \cos x \le \tfrac12.
  • Para 0 \le x < \tfrac{\pi}{3}, a função \cos x vai de 1 a \tfrac12 e é maior que \tfrac12.
  • Entre \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{5\pi}{3}, o cosseno decresce de \tfrac12 a -1 (em \pi) e depois cresce de -1 a \tfrac12, mantendo-se sempre \le \tfrac12.
  • Para \tfrac{5\pi}{3} < x \le 2\pi, a função \cos x vai de \tfrac12 a 1 e volta a ser maior que \tfrac12.
Logo a solução é
x\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}\bigr].

Resposta

\displaystyle x\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}\bigr]

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