Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi.
\sin x \geq-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica \sin x \ge -\tfrac{1}{2}
no intervalo [0,2\pi]. Vamos usar a ideia de encontrar primeiro os pontos em que \sin x = -\tfrac{1}{2}
e depois determinar em quais regiões do círculo unitário a função seno fica acima dessa linha horizontal.

Passo 2

Para achar as soluções de \sin x = -\tfrac{1}{2}
num ciclo completo de 0 a 2\pi, lembramos que o seno vale -\tfrac12 nos quadrantes III e IV, com ângulos de referência \pi/6. Assim:
x = \pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6}, \quad x = 2\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{11\pi}{6}.

Passo 3

Agora, no círculo unitário, a reta y=-\tfrac12 cruza a circunferência em x=\tfrac{7\pi}{6} e x=\tfrac{11\pi}{6}. Entre esses dois ângulos \tfrac{7\pi}{6}<x<\tfrac{11\pi}{6} o seno fica abaixo de -\tfrac12. Fora desse intervalo, ou seja, de 0 até \tfrac{7\pi}{6} e de \tfrac{11\pi}{6} até 2\pi, temos \sin x\ge -\tfrac12.

Passo 4

Portanto, a solução da inequação é a união dos dois trechos onde o seno está acima ou sobre a reta y=-\tfrac12.

Resposta

x \in [0,\tfrac{7\pi}{6}]\;\cup\;[\tfrac{11\pi}{6},2\pi].

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