Encontre quantas soluções a equação abaixo possui no intervalo [0, \pi] :
\cos (15 x)=\cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções da equação
\cos(15x)=\cos(3x)
no intervalo [0,\pi]\). O conteúdo que vamos usar é a identidade trigonométrica \[\cos A = \cos B \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} A = 2\pi k + B,\\\ \text{ou}\\\ A = 2\pi k - B, \end{cases}
para (k\in\mathbb{Z}].

Passo 2

Aplicando a primeira possibilidade 15x = 2\pi k + 3x, obtemos
15x - 3x = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad 12x = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi k}{6}.
Para ter x\in[0,\pi], precisamos de
0 \le \frac{\pi k}{6} \le \pi \quad\Longrightarrow\quad 0 \le k \le 6,
isto é, k=0,1,2,3,4,5,6. Isso fornece as soluções
x = 0,\;\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{2\pi}{3},\;\frac{5\pi}{6},\;\pi
(número total: 7).

Passo 3

Aplicando a segunda possibilidade 15x = 2\pi k - 3x, obtemos
15x + 3x = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad 18x = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi k}{9}.
Para x\in[0,\pi] precisamos de
0 \le \frac{\pi k}{9} \le \pi \quad\Longrightarrow\quad 0 \le k \le 9,
isto é, k=0,1,2,\dots,9. Isso dá as soluções
x = 0,\;\frac{\pi}{9},\;\frac{2\pi}{9},\;\frac{3\pi}{9},\;\dots,\;\frac{9\pi}{9}
(número total: 10).

Passo 4

Agora unimos os conjuntos de soluções das duas possibilidades e eliminamos duplicatas.
Primeiro caso:
\{0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{5\pi}{6},\pi\}
Segundo caso:
\{0,\tfrac{\pi}{9},\tfrac{2\pi}{9},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{4\pi}{9},\tfrac{5\pi}{9},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{7\pi}{9},\tfrac{8\pi}{9},\pi\}.
As duplicatas são 0, \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{2\pi}{3} e \pi (4 pontos). Logo o total de soluções distintas é
7 + 10 - 4 = 13.

Resposta

13

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