Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi.
\sin (2 x)>\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\sin(2x) > \cos x
no intervalo 0 \le x \le 2\pi. O conteúdo envolve identidades trigonométricas (ângulo duplo) e análise de sinais de produto.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
\sin(2x) = 2\sin x\cos x
e reescrevemos a inequação como
2\sin x\cos x - \cos x > 0.

Passo 3

Fatoramos \cos x em evidência:
\cos x\,(2\sin x - 1) > 0.
Para que um produto seja positivo, ou ambos fatores são positivos, ou ambos são negativos.

Passo 4

Estabelecemos os dois casos:
Caso 1:
\begin{cases} \cos x > 0,\\\\ 2\sin x - 1 > 0. \end{cases}
Caso 2:
\begin{cases} \cos x < 0,\\\\ 2\sin x - 1 < 0. \end{cases}

Passo 5

Analisando o Caso 1:
  1. \cos x>0 em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) módulo 2\pi. No intervalo dado isso equivale a
x\in[0,\tfrac{\pi}{2})\,\cup\,( \tfrac{3\pi}{2},2\pi ].
  1. 2\sin x - 1>0 equivale a \sin x> \tfrac12, que ocorre em
x\in(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6})\quad(\bmod\,2\pi).
A interseção dessas duas faixas no intervalo [0,2\pi] é
x\in\bigl(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 6

Analisando o Caso 2:
  1. \cos x<0 em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}).
  2. 2\sin x - 1<0 equivale a \sin x<\tfrac12, que ocorre em
x\in[0,\tfrac{\pi}{6})\;\cup\;(\tfrac{5\pi}{6},2\pi).
A interseção dessas duas faixas no intervalo dado é
x\in\bigl(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Resposta

A solução da inequação \sin(2x)>\cos x em 0\le x\le2\pi é
\boxed{x\in\bigl(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr)\;\cup\;\bigl(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}\bigr).}

Exercícios relacionados