Resolva as seguintes inequações:
x^{2}(x+7) \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{2}(x+7)\leqslant 0.
O conteúdo aqui é estudo de sinais de um polinômio. Vamos precisar identificar as raízes, suas multiplicidades e ver em quais intervalos o produto é não positivo.

Passo 2

Encontramos as raízes da função f(x)=x^{2}(x+7). Elas são
x=0\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad x=-7\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 3

Para determinar o sinal de f(x), analisamos cada fator em cada intervalo:
  • Para x<-7: x^{2}>0 e x+7<0, logo f(x)<0.
  • Para -7<x<0: x^{2}>0 e x+7>0, logo f(x)>0.
  • Para x>0: x^{2}>0 e x+7>0, logo f(x)>0.
Quanto aos pontos singulares:
  • Em x=-7, o fator x+7 anula f, e como multiplicidade é ímpar, o sinal muda de negativo para positivo, mas como queremos \leqslant 0, incluímos x=-7.
  • Em x=0, o fator x^{2} anula f, e como multiplicidade é par, o sinal não muda ao atravessar 0. Entretanto, também incluindo x=0 pois buscamos \leqslant 0.

Passo 4

Juntando tudo, f(x)\leqslant 0 em
(-\infty,\,-7]\quad\text{e em}\quad\{0\}.

Resposta

(-\infty,\,-7]\;\cup\;\{0\}.

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