Resolva as seguintes integrais duplas: \iint_{E} d A, onde E é a região triangular de vértices A(0,0), B(0,4) e C(3,0).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{E} dA, onde E é o triângulo com vértices A(0,0), B(0,4) e C(3,0). As informações dadas são:
  • Vértices: A(0,0), B(0,4), C(3,0).
  • A integral é \iint_{E} dA, ou seja, integrar a função constante 1 sobre a região E (isso mede a área de E).
    O que se pede: encontrar o valor numérico de \iint_{E} dA.

Passo 2

Vamos entender a forma da região E e as retas que a delimitam. Os lados do triângulo são:
  • AB: segmento entre A(0,0) e B(0,4). É a reta vertical \;x=0\; com 0\le y\le4.
  • AC: segmento entre A(0,0) e C(3,0). É a reta horizontal \;y=0\; com 0\le x\le3.
  • BC: reta entre B(0,4) e C(3,0). Vamos achar sua equação. A inclinação é
m=\frac{0-4}{3-0}=-\frac{4}{3}.
Como passa por B(0,4), a equação é
y=-\frac{4}{3}x+4.
Portanto E é o conjunto de pontos (x,y) com x\ge0,\;y\ge0 e y\le -\dfrac{4}{3}x+4.

Passo 3

Agora escolhemos uma ordem para integrar. A maneira mais direta é tomar fatias verticais (integrar primeiro em y, depois em x). Para cada x entre 0 e 3, y varia de 0 até a reta y=-\dfrac{4}{3}x+4. Assim a integral fica
\iint_{E} dA=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=0}^{-\frac{4}{3}x+4} dy\right)dx.
Explico: integrar 1 em y de 0 até o valor máximo em função de x dá a altura da fatia vertical; integrar isso em x soma todas as fatias, resultando na área.

Passo 4

Calcule a integral passo a passo. A integral interna é
\int_{y=0}^{-\frac{4}{3}x+4} dy = \Bigl[y\Bigr]_{0}^{-\frac{4}{3}x+4} = -\frac{4}{3}x+4.
Substituindo:
\iint_{E} dA = \int_{0}^{3}\left(-\frac{4}{3}x+4\right)dx.
Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}\left(-\frac{4}{3}x+4\right)dx = -\frac{4}{3}\int_{0}^{3}x\,dx + 4\int_{0}^{3}dx.
Calcule separadamente:
\int_{0}^{3}x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{3}=\frac{9}{2}, \qquad \int_{0}^{3}dx = 3.
Assim
-\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{2} + 4\cdot 3 = -\frac{36}{6} + 12 = -6 + 12 = 6.

Passo 5

Como verificação (e para te ensinar outra maneira), podemos integrar na ordem inversa (fatias horizontais). Da equação da reta y=-\dfrac{4}{3}x+4 isolamos x:
-\frac{4}{3}x = y-4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{4}(4-y).
Para cada y entre 0 e 4, x varia de 0 até \dfrac{3}{4}(4-y). A integral é
\iint_{E} dA=\int_{y=0}^{4}\left(\int_{x=0}^{\frac{3}{4}(4-y)} dx\right)dy.
A integral interna dá \dfrac{3}{4}(4-y). Integramos:
\int_{0}^{4}\frac{3}{4}(4-y)dy = \frac{3}{4}\left(\int_{0}^{4}4\,dy - \int_{0}^{4}y\,dy\right) = \frac{3}{4}\left(16 - \frac{16}{2}\right) = \frac{3}{4}\cdot 8 = 6.
Mesmo resultado, ótimo — consistência checada.

Passo 6

Interpretação final curta: integrar 1 sobre E é calcular a área do triângulo. Usando a fórmula da área de triângulo com base \;3\; e altura \;4\;,
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 = 6,Á
igual ao que obtivemos pelas integrais iteradas.

Resposta

6

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