Resolva as seguintes integrais duplas: \iint_{E} d A, onde E é a região triangular de vértices A(0,0), B(0,4) e C(3,0).
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{E} dA, onde E é o triângulo com vértices A(0,0), B(0,4) e C(3,0). As informações dadas são:
Vértices: A(0,0), B(0,4), C(3,0).
A integral é \iint_{E} dA, ou seja, integrar a função constante 1 sobre a região E (isso mede a área de E).
O que se pede: encontrar o valor numérico de \iint_{E} dA.
Passo 2
Vamos entender a forma da região E e as retas que a delimitam. Os lados do triângulo são:
AB: segmento entre A(0,0) e B(0,4). É a reta vertical \;x=0\; com 0\le y\le4.
AC: segmento entre A(0,0) e C(3,0). É a reta horizontal \;y=0\; com 0\le x\le3.
BC: reta entre B(0,4) e C(3,0). Vamos achar sua equação. A inclinação é
m=\frac{0-4}{3-0}=-\frac{4}{3}.
Como passa por B(0,4), a equação é
y=-\frac{4}{3}x+4.
Portanto E é o conjunto de pontos (x,y) com x\ge0,\;y\ge0 e y\le -\dfrac{4}{3}x+4.
Passo 3
Agora escolhemos uma ordem para integrar. A maneira mais direta é tomar fatias verticais (integrar primeiro em y, depois em x). Para cada x entre 0 e 3, y varia de 0 até a reta y=-\dfrac{4}{3}x+4. Assim a integral fica
Explico: integrar 1 em y de 0 até o valor máximo em função de x dá a altura da fatia vertical; integrar isso em x soma todas as fatias, resultando na área.
Passo 4
Calcule a integral passo a passo. A integral interna é
\int_{y=0}^{-\frac{4}{3}x+4} dy = \Bigl[y\Bigr]_{0}^{-\frac{4}{3}x+4} = -\frac{4}{3}x+4.
Substituindo:
\iint_{E} dA = \int_{0}^{3}\left(-\frac{4}{3}x+4\right)dx.
Como verificação (e para te ensinar outra maneira), podemos integrar na ordem inversa (fatias horizontais). Da equação da reta y=-\dfrac{4}{3}x+4 isolamos x: