Resolva as seguintes integrais duplas: \iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde E é a região do limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 e acima da reta y=x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde E é a região do plano limitada pela circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, (disco de raio 2) e “acima” da reta \,y=x.
Informações importantes dadas:
A curva exterior é a circunferência \,x^{2}+y^{2}=4 (raio 2, centro na origem).
A reta que divide a região é \,y=x.
A região E é a parte do disco onde y\ge x (ou seja, o semicírculo do disco que fica acima da reta).
O integrando é x^{2}+y^{2}.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral dupla sobre E.
Passo 2
Escolha do método e mudança de variáveis — motivo didático.
Quando o integrando e a fronteira envolvem x^{2}+y^{2} e uma circunferência, é quase sempre muito mais simples usar coordenadas polares. Vou explicar como funciona a mudança de coordenadas para quem ainda está fresco no assunto.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Jacobiano (fator de mudança de área): ao trocar (x,y) por (r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do porquê: pequenas mudanças em r e \theta geram um paralelogramo de área aproximadamente r\,dr\,d\theta.
Também observe que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
então o integrando fica simples em polares.
Passo 3
Determinar os limites da região [E) em coordenadas polares. Primeiro encontro os pontos de interseção entre a circunferência e a reta para achar ângulos de contorno.
Subtraindo, \sin\theta-\cos\theta\ge 0. Dividindo por \cos\theta quando apropriado (ou observando geometricamente), isso equivale a
\tan\theta \ge 1
em intervalos onde \cos\theta>0, e estendendo pelo período de \tan, a solução continua por um arco de comprimento \pi. Os valores de \theta que satisfazem isso, cobrindo uma região conectada que vai de um ponto de interseção ao outro, são