Resolva as seguintes integrais duplas: \iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde E é a região do limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 e acima da reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde E é a região do plano limitada pela circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, (disco de raio 2) e “acima” da reta \,y=x.
Informações importantes dadas:
  • A curva exterior é a circunferência \,x^{2}+y^{2}=4 (raio 2, centro na origem).
  • A reta que divide a região é \,y=x.
  • A região E é a parte do disco onde y\ge x (ou seja, o semicírculo do disco que fica acima da reta).
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral dupla sobre E.

Passo 2

Escolha do método e mudança de variáveis — motivo didático.
Quando o integrando e a fronteira envolvem x^{2}+y^{2} e uma circunferência, é quase sempre muito mais simples usar coordenadas polares. Vou explicar como funciona a mudança de coordenadas para quem ainda está fresco no assunto.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Jacobiano (fator de mudança de área): ao trocar (x,y) por (r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do porquê: pequenas mudanças em r e \theta geram um paralelogramo de área aproximadamente r\,dr\,d\theta.
Também observe que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
então o integrando fica simples em polares.

Passo 3

Determinar os limites da região [E) em coordenadas polares. Primeiro encontro os pontos de interseção entre a circunferência e a reta para achar ângulos de contorno.
Resolver o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=4,\\[4pt] y=x, \end{cases}
substituindo y=x\] em \(x^{2}+y^{2}=4
2x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x^{2}=2\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Como y=x, os pontos de interseção são \,(\sqrt{2},\sqrt{2}) e \,(-\sqrt{2},-\sqrt{2}).
Em polares, esses pontos correspondem a r=2 (pois estão na circunferência) e ângulos
\theta=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad \theta=\frac{5\pi}{4}.
Portanto os ângulos de fronteira associados à reta y=x no disco são \theta=\pi/4 e \theta=5\pi/4.]

Passo 4

Determinar qual intervalo de \theta corresponde à região “acima” da reta y=x. Em termos polares, a desigualdade y\ge x é
r\sin\theta \ge r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \sin\theta \ge \cos\theta.
Subtraindo, \sin\theta-\cos\theta\ge 0. Dividindo por \cos\theta quando apropriado (ou observando geometricamente), isso equivale a
\tan\theta \ge 1
em intervalos onde \cos\theta>0, e estendendo pelo período de \tan, a solução continua por um arco de comprimento \pi. Os valores de \theta que satisfazem isso, cobrindo uma região conectada que vai de um ponto de interseção ao outro, são
\theta\in\left[\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4}\right].
Para r (distância ao centro), dentro da circunferência vai de 0 até 2:
0\le r \le 2.
Resumo dos limites em polares:
\theta\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right],\qquad r\in[0,2].

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{5\pi/4}\int_{r=0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Então
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-0 = \frac{16}{4}=4.

Passo 7

Calcular a integral externa em \theta. Como a integral interna deu 4, temos
\int_{\pi/4}^{5\pi/4} 4\,d\theta = 4\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=4\cdot\pi=4\pi.
Como verificação rápida por simetria: a integral sobre o disco inteiro de raio 2 seria
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta = (4)\cdot(2\pi)=8\pi,
portanto a metade do disco (região onde y\ge x) deve dar exatamente metade disso, 4\pi, que é consistente com o cálculo.

Resposta

\,4\pi\,

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