Resolva as seguintes integrais duplas:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
. Ou seja:
-
varia de a . -
varia de a .
A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo usando as informações do enunciado.
Passo 2
Primeiro princípio que vamos usar (explicação didática): se a função integranda é contínua em um retângulo, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada, integrando em
primeiro e depois em
(ou vice-versa). Assim podemos escrever a integral como
Aqui cada símbolo significa:
-
e são as variáveis de integração. -
e indicam a ordem das integrações. - Os limites em
e vêm do retângulo dado.
Passo 3
Observe algo muito prático:
depende só de
e
depende só de
. Isso permite tirar
para fora da integral em
:
Agora calculamos a integral em
:
Portanto a integral dupla reduz-se a
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral em
:
Usamos a fórmula de integração por partes (aula rápida): para funções
e
,
Escolha prática para este tipo de integral:
-
então . -
então .
Aplicando a fórmula:
Agora avaliamos de
a
:
Passo 5
Voltando ao fator
que encontramos no Passo 3, multiplicamos:
Distribuindo:
Esse é o valor final exato da integral dupla.