Resolva as seguintes integrais duplas: \iint_{E} x y \cos (x) d A, onde E=[0,2] \times[2,4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E} x y \cos(x)\, dA
onde a região E é o retângulo [0,2]\times[2,4]. Ou seja:
  • x varia de 0 a 2.
  • y varia de 2 a 4.
    A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo usando as informações do enunciado.

Passo 2

Primeiro princípio que vamos usar (explicação didática): se a função integranda é contínua em um retângulo, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada, integrando em y primeiro e depois em x (ou vice-versa). Assim podemos escrever a integral como
\iint_{E} x y \cos(x)\, dA = \int_{0}^{2}\left(\int_{2}^{4} x y \cos(x)\, dy\right) dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • x e y são as variáveis de integração.
  • dx e dy indicam a ordem das integrações.
  • Os limites em x e y vêm do retângulo dado.

Passo 3

Observe algo muito prático: x\cos(x) depende só de x e y depende só de y. Isso permite tirar x\cos(x) para fora da integral em y:
\int_{2}^{4} x y \cos(x)\, dy = x\cos(x)\int_{2}^{4} y\, dy.
Agora calculamos a integral em y:
\int_{2}^{4} y\, dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{2}^{4} = \tfrac{1}{2}(4^{2}-2^{2}) = \tfrac{1}{2}(16-4)=\tfrac{12}{2}=6.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\iint_{E} x y \cos(x)\, dA = \int_{0}^{2} x\cos(x)\cdot 6\, dx = 6\int_{0}^{2} x\cos(x)\, dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral em x:
\int_{0}^{2} x\cos(x)\, dx.
Usamos a fórmula de integração por partes (aula rápida): para funções u(x) e v(x),
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Escolha prática para este tipo de integral:
  • u = x então du = dx.
  • dv = \cos(x)\, dx então v = \sin(x).
    Aplicando a fórmula:
\int x\cos(x)\, dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\, dx = x\sin(x) + \cos(x) + C.
Agora avaliamos de 0 a 2:
\left[x\sin(x)+\cos(x)\right]_{0}^{2} = \big(2\sin(2)+\cos(2)\big) - \big(0\cdot\sin(0)+\cos(0)\big) = 2\sin(2)+\cos(2)-1.

Passo 5

Voltando ao fator 6 que encontramos no Passo 3, multiplicamos:
6\int_{0}^{2} x\cos(x)\, dx = 6\big(2\sin(2)+\cos(2)-1\big).
Distribuindo:
6\big(2\sin(2)+\cos(2)-1\big)=12\sin(2)+6\cos(2)-6.
Esse é o valor final exato da integral dupla.

Resposta

12\sin(2)+6\cos(2)-6

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