Resolva as seguintes integrais indefinidas. \int \frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)} d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
O integrando é uma função racional, isto é, um quociente de polinômios: numerador 3x^{2}+5x-2 e denominador (x+1)^{2}(x-3).
O denominador tem um fator linear repetido (x+1)^{2} e um fator linear simples (x-3).
O grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), portanto a fração é própria (não é necessário fazer divisão polinomial antes).
A pergunta é: calcular a primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem enrolar): usar decomposição em frações parciais. Explicação didática curta do porquê:
Para integrar uma função racional própria, uma técnica padrão é escrever a fração como soma de frações simples cujo denominador são potências dos fatores lineares irreduzíveis do denominador.
No caso de um fator linear repetido (x+1)^{2}, a forma geral inclui termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^{2}}.
Para o fator (x-3) aparece um termo \dfrac{C}{x-3}.
Portanto postulo que exista A,B,C tais que
Somando as primitivas parciais (sem esquecer da constante de integração única no final) obtemos a primitiva da função original como a soma das três expressões obtidas.