Resolva as seguintes integrais indefinidas.
\int \frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma função racional, isto é, um quociente de polinômios: numerador 3x^{2}+5x-2 e denominador (x+1)^{2}(x-3).
  • O denominador tem um fator linear repetido (x+1)^{2} e um fator linear simples (x-3).
  • O grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), portanto a fração é própria (não é necessário fazer divisão polinomial antes).
A pergunta é: calcular a primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem enrolar): usar decomposição em frações parciais. Explicação didática curta do porquê:
  • Para integrar uma função racional própria, uma técnica padrão é escrever a fração como soma de frações simples cujo denominador são potências dos fatores lineares irreduzíveis do denominador.
  • No caso de um fator linear repetido (x+1)^{2}, a forma geral inclui termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^{2}}.
  • Para o fator (x-3) aparece um termo \dfrac{C}{x-3}.
    Portanto postulo que exista A,B,C tais que
\frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x-3}.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por (x+1)^{2}(x-3) para obter uma igualdade entre polinômios no numerador:
3 x^{2}+5 x-2 = A(x+1)(x-3) + B(x-3) + C(x+1)^{2}.
Agora vou expandir os termos à direita para agrupar em potências de x.

Passo 4

Expandindo cada parte:
A(x+1)(x-3) = A(x^{2}-2x-3) = A x^{2} - 2A x - 3A,
B(x-3) = B x - 3B,
C(x+1)^{2} = C(x^{2}+2x+1) = C x^{2} + 2C x + C.
Somando:
A x^{2} - 2A x - 3A + B x - 3B + C x^{2} + 2C x + C = (A+C)x^{2} + (-2A+B+2C)x + (-3A-3B+C).
Comparando coeficientes com o polinômio 3x^{2}+5x-2 obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] -2A + B + 2C = 5,\\[4pt] -3A - 3B + C = -2. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação isolamos C:
C = 3 - A.
Substituo em da segunda:
-2A + B + 2(3-A) = 5 \quad\Rightarrow\quad -2A + B + 6 - 2A = 5,
portanto
B - 4A = -1 \quad\Rightarrow\quad B = 4A - 1.
Agora substituo B e C na terceira equação:
-3A - 3(4A-1) + (3-A) = -2.
Calculo os termos:
-3A -12A + 3 + 3 - A = -2 \quad\Rightarrow\quad -16A + 6 = -2,
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-16A = -8 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{1}{2}.
Com A=\tfrac{1}{2} obtemos
B = 4A - 1 = 4\cdot\tfrac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1,
C = 3 - A = 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 6

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{3 x^{2}+5 x-2}{(x+1)^{2}(x-3)} = \frac{\tfrac{1}{2}}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{\tfrac{5}{2}}{x-3}.
Agora integro termo a termo. Lembretes úteis das integrais básicas que vou usar:
  • Para k\neq 0, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • Para n\neq 1, \displaystyle \int (x+a)^{n}\,dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C. Em particular, para n=-2, \displaystyle \int (x+a)^{-2}\,dx = - (x+a)^{-1}+C.
Integro cada termo separadamente:
\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln|x+1|,
\int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1},
\int \frac{\tfrac{5}{2}}{x-3}\,dx = \tfrac{5}{2}\ln|x-3|.

Passo 7

Somando as primitivas parciais (sem esquecer da constante de integração única no final) obtemos a primitiva da função original como a soma das três expressões obtidas.

Resposta

\tfrac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{x+1}+\tfrac{5}{2}\ln|x-3|+C

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