Derive as funções: f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}\,.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de \,f\, em relação a \,x\, e em relação a \,y. Ou seja, encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Passo 2
Conceito importante (definição): a derivada parcial de \,f em relação a \,x num ponto (x,y) mede a variação de \,f quando apenas \,x varia e \,y fica fixo. Formalmente,
Para (A)=x^{3}, usando a regra da potência com variável x: \dfrac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
Para (B)=x^{2}y^{3}, como y^{3} é constante em relação a x, aplica-se a regra do fator constante: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3})=y^{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=y^{3}\cdot 2x=2x\,y^{3}.
Para \text{(C)}=-2y^{2}, tudo é constante em relação a x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y^{2})=0.
Para (A)=x^{3}, é constante relativamente a y, logo \dfrac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
Para (B)=x^{2}y^{3}, agora x^{2} é constante: \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3})=x^{2}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
Para \text{(C)}=-2y^{2}, usar a regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y^{2})=-2\cdot 2y=-4y.
Pequeno reforço (exemplo extra rápido): se tivesse g(x,y)=x y^{2}, para \partial g/\partial x trata-se y^{2} como constante e obtém-se \partial g/\partial x=y^{2}; para \partial g/\partial y usa-se regra da potência com fator x e obtém-se \partial g/\partial y=2xy. Isso mostra a ideia de “fixar uma variável” na prática.