Derive as funções:
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}\,.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de \,f\, em relação a \,x\, e em relação a \,y. Ou seja, encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Conceito importante (definição): a derivada parcial de \,f em relação a \,x num ponto (x,y) mede a variação de \,f quando apenas \,x varia e \,y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a \,y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática de prova, usa-se a ideia: para \partial/\partial x trata-se \,y como constante; para \partial/\partial y trata-se \,x como constante.

Passo 3

Regras que vamos usar (lembrando o que cada símbolo significa):
  • Regra da potência: para \,g(t)=t^{n} vale \,g'(t)=nt^{n-1}. Aqui t é a variável que está sendo derivada.
  • Regra do fator constante: se c é constante e h(t)=c\cdot u(t), então h'(t)=c\cdot u'(t).
  • Regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas.
    Aplicamos essas regras tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 4

Derivada parcial em relação a x. Vou dividir a função em termos e derivar cada um, tratando \,y como constante:
f(x,y)=\underbrace{x^{3}}_{(A)}+\underbrace{x^{2}y^{3}}_{(B)}+\underbrace{(-2y^{2})}_{\text{(C)}}.
  • Para (A)=x^{3}, usando a regra da potência com variável x: \dfrac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
  • Para (B)=x^{2}y^{3}, como y^{3} é constante em relação a x, aplica-se a regra do fator constante: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3})=y^{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=y^{3}\cdot 2x=2x\,y^{3}.
  • Para \text{(C)}=-2y^{2}, tudo é constante em relação a x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y^{2})=0.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}.

Passo 5

Derivada parcial em relação a y. Agora tratamos \,x como constante e derivamos termo a termo:
f(x,y)=\underbrace{x^{3}}_{(A)}+\underbrace{x^{2}y^{3}}_{(B)}+\underbrace{(-2y^{2})}_{\text{(C)}}.
  • Para (A)=x^{3}, é constante relativamente a y, logo \dfrac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
  • Para (B)=x^{2}y^{3}, agora x^{2} é constante: \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3})=x^{2}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Para \text{(C)}=-2y^{2}, usar a regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y^{2})=-2\cdot 2y=-4y.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 6

Pequeno reforço (exemplo extra rápido): se tivesse g(x,y)=x y^{2}, para \partial g/\partial x trata-se y^{2} como constante e obtém-se \partial g/\partial x=y^{2}; para \partial g/\partial y usa-se regra da potência com fator x e obtém-se \partial g/\partial y=2xy. Isso mostra a ideia de “fixar uma variável” na prática.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y

Exercícios relacionados