Resolva as seguintes integrais definidas.
\int_{-3}^{4}|x+2| d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{-3}^{4} |x+2|\,dx.
Informações dadas (relevantes):
  • O integrando é a função valor absoluto |x+2|.
  • O intervalo de integração é [-3,4].
  • O ponto onde o argumento do valor absoluto zera é x+2=0\Rightarrow x=-2. Esse ponto está dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e como integrá-lo (aula curta e prática).
  • A definição útil do valor absoluto é
|u|= \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
  • Aqui u=x+2. Então para x<-2 temos x+2<0 e |x+2|=-(x+2). Para x\ge-2 temos x+2\ge0 e |x+2|=x+2.
  • Para integrar uma função com valor absoluto, o procedimento padrão é dividir o intervalo nos pontos onde o argumento muda de sinal (aqui em x=-2) e integrar peça por peça.]

Passo 3

Separar a integral em duas integrais sem valor absoluto, usando a definição acima:
\int_{-3}^{4}|x+2|\,dx = \int_{-3}^{-2}-(x+2)\,dx + \int_{-2}^{4}(x+2)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral. Primeiro obtenho uma primitiva de -(x+2).
  • Uma primitiva de x+2 é \dfrac{x^{2}}{2}+2x.
  • Portanto uma primitiva de -(x+2) é
F_1(x)=-\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x\right)=-\dfrac{x^{2}}{2}-2x.
Avaliação no intervalo [-3,-2]:
\int_{-3}^{-2}-(x+2)\,dx =F_1(-2)-F_1(-3).
Calculemos F_1(-2) e F_1(-3):
F_1(-2)=-\dfrac{(-2)^{2}}{2}-2(-2)=-\dfrac{4}{2}+4=-2+4=2.
F_1(-3)=-\dfrac{(-3)^{2}}{2}-2(-3)=-\dfrac{9}{2}+6=-\dfrac{9}{2}+\dfrac{12}{2}=\dfrac{3}{2}.
Logo
\int_{-3}^{-2}-(x+2)\,dx=2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral. Uma primitiva de x+2 já foi indicada:
F_2(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2x.
Avaliação no intervalo [-2,4]:
\int_{-2}^{4}(x+2)\,dx=F_2(4)-F_2(-2).
Calculemos F_2(4) e F_2(-2):
F_2(4)=\dfrac{4^{2}}{2}+2\cdot4=\dfrac{16}{2}+8=8+8=16.
F_2(-2)=\dfrac{(-2)^{2}}{2}+2(-2)=\dfrac{4}{2}-4=2-4=-2.
Logo
\int_{-2}^{4}(x+2)\,dx=16-(-2)=18.

Passo 6

Somando as duas partes obtidas:
\int_{-3}^{4}|x+2|\,dx=\dfrac{1}{2}+18=\dfrac{1}{2}+\dfrac{36}{2}=\dfrac{37}{2}.
(Em decimal isso é 18{,}5.)

Resposta

\dfrac{37}{2}

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