Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int x \cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações dadas e o que é esperado:
\text{Integrando em relação a } x;\quad \text{procuramos uma primitiva (familia de funções) } F(x)+C.çãçõ

Passo 2

Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela serve aqui.
A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • \;u\; é uma função que escolhemos e du é sua diferencial (derivada vezes dx);
  • \;dv\; é a outra parte do integrando e v é uma primitiva de dv (ou seja, v=\int dv).
    A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples, e escolher dv que seja fácil de integrar. No nosso caso, uma escolha natural é
u = x,\qquad dv = \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx,
porque derivando x ficamos com algo simples ( du=dx) e integrar \cos\!\left(\frac{x}{2}\right) é direto.

Passo 3

Calcule du e v.
Derivando u:
du = dx.
Agora integramos dv para achar v. Usamos a fórmula
\int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x).
Aqui a=\tfrac{1}{2}, então
v = \int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo os valores encontrados:
\int x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = x\cdot 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - \int 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Simplificando:
\int x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - 2\int \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral restante \int \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx. Usamos a fórmula
\int \sin(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x).
Com a=\tfrac{1}{2} temos
\int \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = -\frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo na expressão do Passo 4:
\int x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) - 2\bigl(-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\bigr) + C.
Logo
\int x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (pra te deixar mais confiante): derivamos a primitiva encontrada e conferimos que dá o integrando. Seja
F(x)=2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+4\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Derivando passo a passo:
  • Para 2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) usamos regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)=2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+2x\cdot\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} =2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+x\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Para 4\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) usamos cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(4\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)=4\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)\cdot\frac{1}{2}=-2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Somando as duas derivadas:
\frac{dF}{dx}=\bigl(2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+x\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)+\bigl(-2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)=x\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Resposta

2x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+4\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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