Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é esperado:
Passo 2
Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela serve aqui.
A fórmula da integração por partes é
A fórmula da integração por partes é
Nessa fórmula:
-
é uma função que escolhemos e é sua diferencial (derivada vezes ); -
é a outra parte do integrando e é uma primitiva de (ou seja, ).
A ideia é escolherde modo que seja mais simples, e escolher que seja fácil de integrar. No nosso caso, uma escolha natural é
porque derivando
ficamos com algo simples (
) e integrar
é direto.
Passo 3
Calcule
e
.
Derivando :
Derivando
Agora integramos
para achar
. Usamos a fórmula
Aqui
, então
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a integral restante
. Usamos a fórmula
Com
temos
Substituindo na expressão do Passo 4:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (pra te deixar mais confiante): derivamos a primitiva encontrada e conferimos que dá o integrando. Seja
Derivando passo a passo:
- Para
usamos regra do produto:
- Para
usamos cadeia:
Somando as duas derivadas:
que é exatamente o integrando. Perfeito!