Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O problema pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou explicar essa técnica com calma.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função de que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar), -
é o resto do integrando, que escolhemos para ser fácil de integrar, -
é a derivada de multiplicada por , i.e., , -
é uma antiderivada de , i.e., .
A ideia é escolher
e
de forma a simplificar a nova integral
.
Passo 3
Escolha razoável para este problema:
Isso é bom porque
fica mais simples ao derivar e
integra facilmente.
Agora calculamos
e
.
Derivada de
: usando a regra da cadeia (ou a propriedade
),
Portanto
Antiderivada de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
,
Simplificando o integrando da segunda parcela,
Passo 5
Portanto a primitiva é
onde
é a constante de integração. Observação útil: usando
obteríamos
e
é apenas uma constante multiplicada por
, então qualquer diferença pode ser absorvida em
. Mas a forma mais compacta é a anterior.