Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \ln |5 x| . d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral indefinida
\int \ln|5x| \, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \ln|5x|.
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\ln|5x|.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou explicar essa técnica com calma.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função de x que escolhemos (normalmente algo que fica mais simples ao derivar),
  • dv é o resto do integrando, que escolhemos para ser fácil de integrar,
  • du é a derivada de u multiplicada por dx, i.e., du = u'(x)\,dx,
  • v é uma antiderivada de dv, i.e., v=\int dv.
A ideia é escolher u e dv de forma a simplificar a nova integral \int v\,du.

Passo 3

Escolha razoável para este problema:
u = \ln|5x|,\qquad dv = dx.
Isso é bom porque \ln|5x| fica mais simples ao derivar e dv=dx integra facilmente.
Agora calculamos du e v.
Derivada de \ln|5x|: usando a regra da cadeia (ou a propriedade \ln|5x|=\ln 5+\ln|x|),
\frac{d}{dx}\ln|5x| = \frac{1}{x}.
Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.
Antiderivada de dv:
v=\int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \ln|5x|\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du,
\int \ln|5x|\,dx = x\ln|5x| - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela,
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.

Passo 5

Portanto a primitiva é
x\ln|5x| - x + C,
onde C é a constante de integração. Observação útil: usando \ln|5x|=\ln 5+\ln|x| obteríamos
x\ln|5x|-x = x\ln|x| + x\ln 5 - x,
e x\ln 5 é apenas uma constante multiplicada por x, então qualquer diferença pode ser absorvida em C. Mas a forma mais compacta é a anterior.

Resposta

x\ln|5x| - x + C

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