Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
em relação a
. Ou seja, encontrar uma primitiva
tal que
Informações dadas:
Passo 2
Escolha do método: aqui temos um produto entre um polinômio em
e uma exponencial
. Um método natural e eficiente é a fórmula de integração por partes, porque derivar
simplifica e integrar
é direto. Vou usar integração por partes com as escolhas que tornam a conta simples.
Fórmula de integração por partes:
Nessa fórmula,
e
são partes do integrando que escolhemos;
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Escolho
Agora calculo
e
.
Derivando
:
Integro
para obter
. Calculamos
Para integrar
note que a derivada de
é
, então
(Explicação alternativa: se fizermos a substituição
então
e
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Agora calculo
. Usando substituição
(ou conhecimento direto),
Portanto
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Passo 5
Verificação (diferenciação) — sempre bom checar na prova: diferencio
.
Derivada de
(regra do produto):
Derivada de
:
Somando:
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.