Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int 2 x \cdot e^{2 x} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função 2 x \cdot e^{2 x} em relação a x. Ou seja, encontrar uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=2x e^{2x}.
Informações dadas:
\text{integrando: }2x e^{2x},\qquad \text{variável: }x,\qquad \text{procuramos: }\int 2x e^{2x}\,dx.á

Passo 2

Escolha do método: aqui temos um produto entre um polinômio em x e uma exponencial e^{2x}. Um método natural e eficiente é a fórmula de integração por partes, porque derivar x simplifica e integrar e^{2x} é direto. Vou usar integração por partes com as escolhas que tornam a conta simples.
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Nessa fórmula, u e dv são partes do integrando que escolhemos; du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv.

Passo 3

Escolho
u = x,\qquad dv = 2 e^{2x}\,dx.
Agora calculo du e v.
Derivando u:
du = dx.
Integro dv para obter v. Calculamos
v=\int 2 e^{2x}\,dx.
Para integrar 2 e^{2x} note que a derivada de e^{2x} é 2 e^{2x}, então
v = e^{2x}.
(Explicação alternativa: se fizermos a substituição t=2x então dt=2\,dx e \int 2 e^{2x}\,dx=\int e^{t}\,dt=e^{t}=e^{2x}.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int 2x e^{2x}\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int 2x e^{2x}\,dx = x\cdot e^{2x} - \int e^{2x}\,dx.
Agora calculo \int e^{2x}\,dx. Usando substituição t=2x (ou conhecimento direto),
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Portanto
\int 2x e^{2x}\,dx = x e^{2x} - \frac{1}{2} e^{2x} + C.
Podemos fatorar e^{2x} se quisermos uma forma mais compacta:
\int 2x e^{2x}\,dx = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)e^{2x} + C.

Passo 5

Verificação (diferenciação) — sempre bom checar na prova: diferencio F(x)=x e^{2x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}.
Derivada de x e^{2x} (regra do produto):
\frac{d}{dx}\big(x e^{2x}\big)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2 e^{2x}=e^{2x}+2x e^{2x}.
Derivada de -\tfrac{1}{2}e^{2x}:
\frac{d}{dx}\left(-\tfrac{1}{2}e^{2x}\right)=-\tfrac{1}{2}\cdot 2 e^{2x}=-e^{2x}.
Somando:
\big(e^{2x}+2x e^{2x}\big)-e^{2x}=2x e^{2x},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\left(x-\tfrac{1}{2}\right)e^{2x}+C

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