Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é uma função racional — um polinômio de grau
no numerador dividido por um polinômio de grau
no denominador. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
seja o integrando.
Passo 2
Quando temos uma função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, primeiro passo prático é fazer a divisão polinomial para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria (com grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir
por
Fazendo a divisão: o primeiro termo do quociente é
, porque
. Subtraindo desse produto do numerador original, o resto é
Portanto a decomposição obtida pela divisão é
Passo 3
Agora a integral se separa em duas partes mais simples:
Vou integrar termo a termo. Esta abordagem é padrão: transformar a integral de uma razão em soma de integrais que conhecemos.
Passo 4
Integral do primeiro termo:
.
Usamos a regra de potência: para
.
Aqui , então
Usamos a regra de potência:
Aqui
Passo 5
Integral da parte fracionária:
.
Separe em duas integrais:
Separe em duas integrais:
Cada uma tem técnica conhecida: a primeira usa substituição, a segunda usa a primitiva da função arctangente.
Passo 6
Para
faça a substituição
. Então
. Assim a integral vira
Observação:
para todo
, então podemos escrever
sem barras de valor absoluto, mas
é a forma geral.
Passo 7
Para
, lembramos que a primitiva de
é
, isto é
Multiplicando por
,
Passo 8
Agora junte todas as partes que encontramos:
- da Parte do polinômio:
, - da parte
: , - da parte
: .
Somando e adicionando a constante de integração
, a primitiva geral é