Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{2 x^{4}+2 x^{2}+2 x+3}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{4}+2 x^{2}+2 x+3}{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é uma função racional — um polinômio de grau 4 no numerador dividido por um polinômio de grau 2 no denominador. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Quando temos uma função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, primeiro passo prático é fazer a divisão polinomial para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria (com grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir
2x^{4}+2x^{2}+2x+3
por
x^{2}+1.
Fazendo a divisão: o primeiro termo do quociente é 2x^{2}, porque 2x^{2}\cdot(x^{2}+1)=2x^{4}+2x^{2}. Subtraindo desse produto do numerador original, o resto é
(2x^{4}+2x^{2}+2x+3)-(2x^{4}+2x^{2})=2x+3.
Portanto a decomposição obtida pela divisão é
\frac{2 x^{4}+2 x^{2}+2 x+3}{x^{2}+1}=2x^{2}+\frac{2x+3}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora a integral se separa em duas partes mais simples:
\int \frac{2 x^{4}+2 x^{2}+2 x+3}{x^{2}+1}\,dx = \int 2x^{2}\,dx + \int \frac{2x+3}{x^{2}+1}\,dx.
Vou integrar termo a termo. Esta abordagem é padrão: transformar a integral de uma razão em soma de integrais que conhecemos.

Passo 4

Integral do primeiro termo: \int 2x^{2}\,dx.
Usamos a regra de potência: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Aqui n=2, então
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 5

Integral da parte fracionária: \int \dfrac{2x+3}{x^{2}+1}\,dx.
Separe em duas integrais:
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx.
Cada uma tem técnica conhecida: a primeira usa substituição, a segunda usa a primitiva da função arctangente.

Passo 6

Para \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx faça a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx. Assim a integral vira
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(x^{2}+1) + C.
Observação: x^{2}+1>0 para todo x, então podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem barras de valor absoluto, mas \ln|u| é a forma geral.

Passo 7

Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx, lembramos que a primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan(x), isto é
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C.
Multiplicando por 3,
\int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan(x).

Passo 8

Agora junte todas as partes que encontramos:
  • da Parte do polinômio: \dfrac{2}{3}x^{3},
  • da parte \dfrac{2x}{x^{2}+1}: \ln(x^{2}+1),
  • da parte \dfrac{3}{x^{2}+1}: 3\arctan(x).
Somando e adicionando a constante de integração C, a primitiva geral é
\frac{2}{3}x^{3} + \ln(x^{2}+1) + 3\arctan(x) + C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{3}+\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+3\arctan(x)+C

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