Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{6 d x}{x \sqrt{x^{2}-2}}

Passo 1

O que temos e o que é pedido. O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{6\,dx}{x\sqrt{x^{2}-2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{6}{x\sqrt{x^{2}-2}}.
  • A raiz \sqrt{x^{2}-2} exige que |x|\ge \sqrt{2} para que o integrando seja real; além disso x\neq 0. Portanto a integral só faz sentido real para x>\sqrt{2} ou x<-\sqrt{2}.
  • O resultado deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e por que ele funciona. Quando aparece uma expressão do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}}, a substituição trigonométrica clássica é
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque com ela surgem relações trigonométricas simples que eliminam a raiz. Aqui a=\sqrt{2}. Vou usar x=\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta. Essa escolha transforma \sqrt{x^{2}-2} em algo proporcional a \tan\theta, o que simplifica muito o integrando. (Outra opção seria usar substituição hiperbólica, dá resultado equivalente; escolhi a trigonométrica por ser mais direta.)

Passo 3

Executando a substituição x=\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta. Calculemos dx e a raiz:
x=\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta \quad\Rightarrow\quad dx=\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Agora a raiz:
\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{2\operatorname{sec}^{2}\theta-2}=\sqrt{2(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)}=\sqrt{2\tan^{2}\theta}=\sqrt{2}\,|\tan\theta|.
Pela escolha padrão de \theta para a substituição (podemos tomar \theta tal que \tan\theta tenha o mesmo sinal de x no ramo estudado), podemos considerar |\tan\theta|=\tan\theta no ramo onde a transformação é consistente; vamos prosseguir formalmente e cuidar de sinais na discussão de domínio depois.

Passo 4

Substituímos tudo na integral. O integrando original é \dfrac{6}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx. Substituindo x, \sqrt{x^{2}-2} e dx obtemos
\int \frac{6}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx = \int \frac{6}{\big(\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\big)\big(\sqrt{2}\tan\theta\big)}\cdot\big(\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\big).
Agora simplificamos passo a passo: no numerador temos 6 vezes dx que trouxe um fator \sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta. No denominador temos \sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\cdot\sqrt{2}\tan\theta=2\operatorname{sec}\theta\tan\theta. Cancelando fatores idênticos:
\int \frac{6}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx = \int \frac{6\cdot \sqrt{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{2\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{6\sqrt{2}}{2}\,d\theta.
Portanto o integrando em \theta é constante:
\int \frac{6}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx = \int 3\sqrt{2}\,d\theta.

Passo 5

Integramos em \theta:
\int 3\sqrt{2}\,d\theta = 3\sqrt{2}\,\theta + C.

Passo 6

Voltando para a variável x. Lembre que x=\sqrt{2}\operatorname{sec}\theta, então
\operatorname{sec}\theta=\frac{x}{\sqrt{2}}.
Uma forma conveniente de escrever \theta em função de x é usando a função arco-cosseno, porque \cos\theta=1/\operatorname{sec}\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{x}. Assim
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{x}\right).
Substituindo em 3\sqrt{2}\,\theta+C obtemos uma primitiva em x:
3\sqrt{2}\,\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+C.
Uma forma equivalente, também válida (e às vezes preferida por deixar explícito o domínio |x|\ge\sqrt{2}), é usar a função arcsec:
3\sqrt{2}\,\operatorname{arcsec}\!\left(\frac{|x|}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 7

Observações finais sobre domínio e sinais. A integral original é real para x>\sqrt{2} ou x<-\sqrt{2}. A expressão com \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{x}\right) dá uma primitiva válida (até constante) nessas regiões; a forma com \operatorname{arcsec} deixa explícito o fato de que o argumento tem módulo maior ou igual a 1. Em provas normalmente qualquer uma das formas apresentadas é aceita, desde que se entenda a restrição |x|\ge\sqrt{2}.

Resposta

3\sqrt{2}\,\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+C

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