Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O que temos e o que é pedido. O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - A raiz
exige que para que o integrando seja real; além disso . Portanto a integral só faz sentido real para ou . - O resultado deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e por que ele funciona. Quando aparece uma expressão do tipo
, a substituição trigonométrica clássica é
porque com ela surgem relações trigonométricas simples que eliminam a raiz. Aqui
. Vou usar
. Essa escolha transforma
em algo proporcional a
, o que simplifica muito o integrando. (Outra opção seria usar substituição hiperbólica, dá resultado equivalente; escolhi a trigonométrica por ser mais direta.)
Passo 3
Executando a substituição
. Calculemos
e a raiz:
Agora a raiz:
Pela escolha padrão de
para a substituição (podemos tomar
tal que
tenha o mesmo sinal de
no ramo estudado), podemos considerar
no ramo onde a transformação é consistente; vamos prosseguir formalmente e cuidar de sinais na discussão de domínio depois.
Passo 4
Substituímos tudo na integral. O integrando original é
. Substituindo
,
e
obtemos
Agora simplificamos passo a passo: no numerador temos
vezes
que trouxe um fator
. No denominador temos
. Cancelando fatores idênticos:
Portanto o integrando em
é constante:
Passo 5
Integramos em
:
Passo 6
Voltando para a variável
. Lembre que
, então
Uma forma conveniente de escrever
em função de
é usando a função arco-cosseno, porque
. Assim
Substituindo em
obtemos uma primitiva em
:
Uma forma equivalente, também válida (e às vezes preferida por deixar explícito o domínio
), é usar a função arcsec:
Passo 7
Observações finais sobre domínio e sinais. A integral original é real para
ou
. A expressão com
dá uma primitiva válida (até constante) nessas regiões; a forma com
deixa explícito o fato de que o argumento tem módulo maior ou igual a
. Em provas normalmente qualquer uma das formas apresentadas é aceita, desde que se entenda a restrição
.