Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função racional abaixo:
Informações dadas:
é o numerador e
é o denominador.
A tarefa é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão tal que
.
A tarefa é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a fração por álgebra, para deixar a integral mais simples de calcular. Separe a fração em duas parcelas:
Agora manipule a primeira parcela escrevendo
. Então
Desenvolvendo:
Passo 3
Substitua isso na soma com a segunda parcela:
Portanto a integral fica
Aqui usei a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 4
Calcule a primeira integral separadamente:
Use a regra da potência: para
,
. Aqui
é
, então
Passo 5
Agora a segunda integral:
Reconhecemos que a derivada de
é
. Então fazemos a substituição clássica (mudança de variável):
defina . Então
.
Com isso a integral transforma-se em
defina
Com isso a integral transforma-se em
Como
para todo
, podemos tirar o módulo:
Passo 6
Some os resultados das duas parcelas e junte as constantes em uma única constante
: