Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{\left(10 x^{3}+92 x\right) \cdot d x}{x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional abaixo:
\int \frac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}\,dx.
Informações dadas:
\;10x^{3}+92x é o numerador e \;x^{2}+9 é o denominador.
A tarefa é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a fração por álgebra, para deixar a integral mais simples de calcular. Separe a fração em duas parcelas:
\frac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}=\frac{10x^{3}}{x^{2}+9}+\frac{92x}{x^{2}+9}.
Agora manipule a primeira parcela escrevendo x^{2}=(x^{2}+9)-9. Então
\frac{10x^{3}}{x^{2}+9}=10x\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+9} =10x\cdot\frac{(x^{2}+9)-9}{x^{2}+9} =10x\left(1-\frac{9}{x^{2}+9}\right).
Desenvolvendo:
\frac{10x^{3}}{x^{2}+9}=10x-\frac{90x}{x^{2}+9}.

Passo 3

Substitua isso na soma com a segunda parcela:
\frac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}=10x-\frac{90x}{x^{2}+9}+\frac{92x}{x^{2}+9} =10x+\frac{2x}{x^{2}+9}.
Portanto a integral fica
\int \frac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}\,dx =\int\left(10x+\frac{2x}{x^{2}+9}\right)\,dx.
Aqui usei a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 4

Calcule a primeira integral separadamente:
\int 10x\,dx.
Use a regra da potência: para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui x é x^{1}, então
\int 10x\,dx=10\cdot\frac{x^{2}}{2}=5x^{2}.

Passo 5

Agora a segunda integral:
\int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx.
Reconhecemos que a derivada de x^{2}+9 é 2x. Então fazemos a substituição clássica (mudança de variável):
defina \;u=x^{2}+9. Então \;du=2x\,dx.
Com isso a integral transforma-se em
\int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Como u=x^{2}+9>0 para todo x, podemos tirar o módulo:
\int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx=\ln\!\big(x^{2}+9\big)+C.

Passo 6

Some os resultados das duas parcelas e junte as constantes em uma única constante C:
\int \frac{10x^{3}+92x}{x^{2}+9}\,dx =5x^{2}+\ln\!\big(x^{2}+9\big)+C.

Resposta

5x^{2}+\ln\!\big(x^{2}+9\big)+C

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