Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A integranda é o produto de
por uma função composta . - Não há limites (é integral indefinida), então a resposta deve incluir uma constante de integração
. - Temos a estrutura típica para tentar uma mudança de variável: dentro do seno aparece
e fora aparece uma potência de que é compatível com a derivada de .
Passo 2
Motivação da mudança de variável (explicação didática): quando a integral tem uma função composta
e aparece também algo proporcional a
, podemos usar a substituição
. Isso transforma uma integral em
numa integral em
, que costuma ser mais simples. Aqui a parte interna é
, cuja derivada é proporcional a
, justamente o que aparece multiplicando o seno.
Passo 3
Escolhemos a substituição e escrevemos explicitamente o que ela gera:
Passo 4
Calculamos a diferencial de
:
Isolando
temos:
Passo 5
Substituímos na integral original usando
e
. A integral fica:
Fatorando a constante:
Passo 6
Integramos em
. Lembrete: a antiderivada do seno é o cosseno com sinal negativo, isto é,
Aplicando isso:
Passo 7
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta deve voltar à integranda. Calculamos a derivada de
:
que é exatamente a integranda. Então a solução está correta.