Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int x^{5} \operatorname{sen}\left(x^{6}+7\right) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5}\,\operatorname{sen}\!\left(x^{6}+7\right)\,dx
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integranda é o produto de x^{5} por uma função composta \operatorname{sen}\!\left(x^{6}+7\right).
  • Não há limites (é integral indefinida), então a resposta deve incluir uma constante de integração C.
  • Temos a estrutura típica para tentar uma mudança de variável: dentro do seno aparece x^{6}+7 e fora aparece uma potência de x que é compatível com a derivada de x^{6}.

Passo 2

Motivação da mudança de variável (explicação didática): quando a integral tem uma função composta f(g(x)) e aparece também algo proporcional a g'(x), podemos usar a substituição u=g(x). Isso transforma uma integral em x numa integral em u, que costuma ser mais simples. Aqui a parte interna é x^{6}+7, cuja derivada é proporcional a x^{5}, justamente o que aparece multiplicando o seno.

Passo 3

Escolhemos a substituição e escrevemos explicitamente o que ela gera:
u = x^{6}+7

Passo 4

Calculamos a diferencial de u:
du = \frac{d}{dx}\left(x^{6}+7\right)\,dx = 6x^{5}\,dx
Isolando x^{5}\,dx temos:
x^{5}\,dx = \frac{1}{6}\,du

Passo 5

Substituímos na integral original usando u e du. A integral fica:
\int x^{5}\,\operatorname{sen}\!\left(x^{6}+7\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{6}\,du
Fatorando a constante:
= \frac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du

Passo 6

Integramos em u. Lembrete: a antiderivada do seno é o cosseno com sinal negativo, isto é,
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Aplicando isso:
\frac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{6}\left(-\cos(u)\right)+C = -\frac{1}{6}\cos(u)+C.

Passo 7

Voltamos à variável original x substituindo u = x^{6}+7:
-\frac{1}{6}\cos\left(x^{6}+7\right)+C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta deve voltar à integranda. Calculamos a derivada de -\dfrac{1}{6}\cos\left(x^{6}+7\right):
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{6}\cos\left(x^{6}+7\right)\right) = -\frac{1}{6}\left(-\sin\left(x^{6}+7\right)\right)\cdot 6x^{5} = x^{5}\sin\left(x^{6}+7\right),
que é exatamente a integranda. Então a solução está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{6}\cos\left(x^{6}+7\right)+C

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