Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando integração por partes:
\int \mathrm{s} \operatorname{lns} \mathrm{ds};

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int s\,\ln s \,\mathrm{d}s,
e sugere usar o método de integração por partes. A fórmula que vamos aplicar é
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.

Passo 2

Escolhemos u e \mathrm{d}v de modo a simplificar a integral:
u = \ln s, \qquad \mathrm{d}v = s\,\mathrm{d}s.
Então calculamos
\mathrm{d}u = \frac{1}{s}\,\mathrm{d}s, \qquad v = \int s\,\mathrm{d}s = \frac{s^{2}}{2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int s\,\ln s \,\mathrm{d}s = u\,v \;-\;\int v\,\mathrm{d}u = \frac{s^{2}}{2}\,\ln s \;-\;\int \frac{s^{2}}{2}\,\frac{1}{s}\,\mathrm{d}s.

Passo 4

Simplificando o integrando restante:
\int \frac{s^{2}}{2}\,\frac{1}{s}\,\mathrm{d}s = \int \frac{s}{2}\,\mathrm{d}s = \frac{1}{2}\int s\,\mathrm{d}s = \frac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}}{2} = \frac{s^{2}}{4}.

Passo 5

Portanto a integral original fica
\int s\,\ln s \,\mathrm{d}s = \frac{s^{2}}{2}\,\ln s - \frac{s^{2}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{s^{2}}{2}\,\ln s \;-\;\frac{s^{2}}{4} + C

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