Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int \frac{x d x}{\left(x^{2}+1\right)^{10}}\;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo usando substituição:
\int \frac{x\,dx}{\left(x^{2}+1\right)^{10}}.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{10}}.
  • É uma integral indefinida; portanto o resultado terá uma constante de integração C.
  • Não há restrições sobre x no enunciado (podemos tratar x como variável real).

Passo 2

Escolha da substituição (explicando o raciocínio).
  • Observa-se que no denominador aparece x^{2}+1 elevado a uma potência e no numerador há um fator x\,dx. Isso sugere substituir a expressão interna x^{2}+1 por uma nova variável, porque sua derivada é proporcional a x\,dx.
  • Fazemos a substituição
u = x^{2}+1.
  • Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
  • Isolando x\,dx em função de du temos
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Trocar variáveis na integral.
  • Substituindo u e x\,dx na integral original:
\int \frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{10}} = \int \frac{1}{u^{10}}\cdot\frac{du}{2}.
  • Colocando o fator constante fora da integral:
\int \frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{10}} = \frac{1}{2}\int u^{-10}\,du.

Passo 4

Regra de integração que vamos usar (aula rápida).
  • A regra do expoente diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=-10, que não é -1, então a regra vale. Um exemplo simples: \int u^{2}\,du = u^{3}/3 + C.

Passo 5

Aplicação da regra à integral em u.
  • Aplicando a fórmula com n=-10:
\int u^{-10}\,du = \frac{u^{-9}}{-9}+C.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que está fora:
\frac{1}{2}\int u^{-10}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-9}}{-9}+C = -\frac{1}{18}u^{-9}+C.

Passo 6

Voltar para a variável original e verificar (checagem).
  • Substituindo u = x^{2}+1 de volta:
-\frac{1}{18}u^{-9}+C = -\frac{1}{18}\,(x^{2}+1)^{-9}+C.
  • Verificação rápida por derivação: derivando -\dfrac{1}{18}(x^{2}+1)^{-9} obtém-se
-\frac{1}{18}\cdot(-9)(x^{2}+1)^{-10}\cdot 2x = \frac{18}{18}\cdot x\,(x^{2}+1)^{-10} = \frac{x}{(x^{2}+1)^{10}},
o que confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\frac{1}{18}\,(x^{2}+1)^{-9}+C

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