Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo usando substituição:
Informações dadas:
- A integranda é
. - É uma integral indefinida; portanto o resultado terá uma constante de integração
. - Não há restrições sobre
no enunciado (podemos tratar como variável real).
Passo 2
Escolha da substituição (explicando o raciocínio).
- Observa-se que no denominador aparece
elevado a uma potência e no numerador há um fator . Isso sugere substituir a expressão interna por uma nova variável, porque sua derivada é proporcional a . - Fazemos a substituição
- Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
- Isolando
em função de temos
Passo 3
Trocar variáveis na integral.
- Substituindo
e na integral original:
- Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 4
Regra de integração que vamos usar (aula rápida).
- A regra do expoente diz que, para
,
- Aqui
, que não é , então a regra vale. Um exemplo simples: .
Passo 5
Aplicação da regra à integral em
.
- Aplicando a fórmula com
:
- Multiplicando pelo fator
que está fora:
Passo 6
Voltar para a variável original e verificar (checagem).
- Substituindo
de volta:
- Verificação rápida por derivação: derivando
obtém-se
o que confirma que a primitiva encontrada está correta.