Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é uma potência negativa da expressão linear
. O objetivo é aplicar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Escolha de substituição: note que a parte complicada é
. Faz sentido definir a nova variável como essa parte interna:
Agora calcule a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtém-se
Isolando
temos
Passo 3
Substituindo na integral: trocar
por
e
por
. Assim
Passo 4
Aplicar a regra do poder para integrar
. Regra do poder: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
Volte para a variável original
substituindo
:
Ou, escrevendo com potências positivas no denominador,
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derive a resposta proposta
Usando a regra da cadeia,
Calcule o produto de constantes:
Portanto
que é exatamente a integranda. A antiderivada está correta.