Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int \frac{\mathrm{dx}}{(7 \mathrm{x}-1)^{10}}\;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{(7x-1)^{10}}.
Informações dadas: a função integranda é uma potência negativa da expressão linear 7x-1. O objetivo é aplicar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Escolha de substituição: note que a parte complicada é 7x-1. Faz sentido definir a nova variável como essa parte interna:
u = 7x-1.
Agora calcule a diferencial \mathrm{d}u. Derivando ambos os lados em relação a x obtém-se
\mathrm{d}u = 7\,\mathrm{d}x.
Isolando \mathrm{d}x temos
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{7}.

Passo 3

Substituindo na integral: trocar 7x-1 por u e \mathrm{d}x por \dfrac{\mathrm{d}u}{7}. Assim
\int \frac{\mathrm{d}x}{(7x-1)^{10}} = \int \frac{1}{u^{10}}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{7} = \frac{1}{7}\int u^{-10}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Aplicar a regra do poder para integrar u^{-10}. Regra do poder: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-10, então
\int u^{-10}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{-9}}{-9} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{7} que ficou fora:
\frac{1}{7}\cdot\frac{u^{-9}}{-9} + C = -\frac{1}{63}\,u^{-9} + C.
Volte para a variável original x substituindo u=7x-1:
-\frac{1}{63}\,(7x-1)^{-9} + C.
Ou, escrevendo com potências positivas no denominador,
-\frac{1}{63(7x-1)^{9}} + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derive a resposta proposta
F(x) = -\frac{1}{63}(7x-1)^{-9}.
Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{63}\cdot(-9)\,(7x-1)^{-10}\cdot 7.
Calcule o produto de constantes:
-\frac{1}{63}\cdot(-9)\cdot 7 = \frac{9\cdot7}{63} = \frac{63}{63} = 1.
Portanto
F'(x) = (7x-1)^{-10} = \frac{1}{(7x-1)^{10}},
que é exatamente a integranda. A antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{63(7x-1)^{9}}+C

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