Encontre d^{2} y / d x^{2} . \square \(y=x \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x}\right))

Passo 1

O enunciado pede o valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} para a função dada. A informação fornecida é:
y = x\;\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Objetivo: calcular a derivada segunda \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada primeira y'. Usamos a regra do produto: se y=u(x)v(x) então
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Aqui escolha natural:
u(x)=x,\qquad v(x)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Temos u'(x)=1. Para v'(x) usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{tg}(t) é \operatorname{sec}^{2}(t) e, se t=t(x), então \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(t(x))=\operatorname{sec}^{2}(t(x))\cdot t'(x).

Passo 3

Defina t(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}. Então
t'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Portanto
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = 1\cdot\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) + x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right).
Simplificando o segundo termo:
y'=\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Agora calculamos a derivada segunda y'' derivando termo a termo:
y'=\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right)-x^{-1}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Derivamos cada parcela separadamente.

Passo 6

Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 7

Derivada do segundo termo -x^{-1}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right): é um produto a(x)b(x) com
a(x)=-x^{-1},\qquad b(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Calcule a'(x) e b'(x):
a'(x)= -(-1)x^{-2}=x^{-2}.
Para b'(x) usamos a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{sec}^{2}(u):
\frac{d}{du}\operatorname{sec}^{2}(u)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u).
Com u=\dfrac{1}{x} e u'=-\dfrac{1}{x^{2}}, obtemos
b'(x)=2\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{2}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 8

Aplicando a regra do produto para a(x)b(x):
\frac{d}{dx}\bigl(a(x)b(x)\bigr)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
Substituindo:
\frac{d}{dx}\!\left(-x^{-1}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) = x^{-2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \bigl(-x^{-1}\bigr)\cdot\biggl(-\frac{2}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right)\biggr).
Simplificando o segundo produto:
= x^{-2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 9

Somando as derivadas dos dois termos (Passo 6 e Passo 8):
y'' = -\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) + x^{-2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right).
Os dois primeiros termos se cancelam, restando
y'' = \frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right).

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\tan\!\left(\frac{1}{x}\right)

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