Seja f(x)= \begin{cases}7-x, & \text { se } x<6 \\\ \frac{x}{3}-1, & \text { se } x>6\end{cases}
(a) Determine o domínio e a imagem de f.
(b) Esboce o gráfico de f.
(c) Determine \lim _{x \rightarrow 6^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 6^{+}} f(x).
(d) Existe \lim _{x \rightarrow 6} f(x) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 7-x, & \text{se } x<6,\\[4pt] \dfrac{x}{3}-1, & \text{se } x>6. \end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar o domínio e a imagem (contraparte: conjunto de valores que f atinge).
(b) Esboçar o gráfico de f.
(c) Calcular \lim_{x\to6^-} f(x) e \lim_{x\to6^+} f(x).
(d) Dizer se existe \lim_{x\to6} f(x) e justificar.]

Passo 2

O que é domínio? O domínio é o conjunto de valores de x para os quais a função está definida. Aqui cada ramo da função está definido apenas quando x<6 (primeiro ramo) ou x>6 (segundo ramo). Não há definição para x=6 (nenhum dos ramos inclui x=6). Portanto o domínio é
(-\infty,6)\cup(6,\infty).
Explicação curta: para todo x\neq6 existe exatamente um ramo aplicável; para x=6 não há valor definido.

Passo 3

O que é imagem (ou contradomínio efetivo)? É o conjunto de todos os valores y que aparecem como f(x) quando x varia pelo domínio. Vou analisar ramo a ramo e depois unir os resultados.
Primeiro ramo: para x<6 temos f(x)=7-x.
  • Essa é uma reta de coeficiente angular -1 (decrescente) e intercepto em 7.
  • Quando x\to6^- (aproximação pela esquerda) temos f(x)\to7-6=1. Como x=6 não está no domínio, o valor 1 NÃO é atingido por esse ramo — é apenas um limite.
  • Quando x\to-\infty temos f(x)=7-x\to+\infty.
    Portanto os valores atingidos por esse ramo são todos os números maiores que 1, i.e.
(1,\infty)
para o primeiro ramo.
Para fixar a ideia: valores exemplares — se x=5 (que é <6) então f(5)=7-5=2; se x=0 então f(0)=7; se x muito negativo, f(x) é muito grande e positivo.

Passo 4

Segundo ramo: para x>6 temos f(x)=\dfrac{x}{3}-1.
  • É também uma reta, mas com coeficiente angular 1/3 (crescente) e intercepto -1.
  • Quando x\to6^+ temos f(x)\to \dfrac{6}{3}-1 = 2-1=1. Como x=6 não pertence ao domínio, o valor 1 também NÃO é atingido por esse ramo — é só o limite à direita.
  • Quando x\to+\infty temos f(x)\to+\infty.
    Assim os valores atingidos por esse ramo também são todos os números maiores que 1, ou seja
(1,\infty).
Exemplo para visualizar: se x=7 então f(7)=7/3-1=4/3; se x=9 então f(9)=2.

Passo 5

Agora uno as imagens dos dois ramos. Ambas são (1,\infty). A união de (1,\infty) com (1,\infty) é (1,\infty). Verificação final: o valor 1 não é atingido por nenhum ramo (porque exigiria x=6 em ambos os casos), e qualquer número maior que 1 pode ser obtido por algum x em um dos ramos. Logo a imagem total de f é
(1,\infty).

Passo 6

Esboço do gráfico (instruções detalhadas para desenhar à mão):
  • Primeiro ramo ( x<6): reta com equação y=7-x. Traçar essa reta para a parte x<6. Em x=6 a reta atinge y=1 mas como 6 não está no domínio, colocar um círculo aberto em (6,1) nesse ramo.
    • Pontos úteis: x=5\Rightarrow y=2; x=0\Rightarrow y=7.
  • Segundo ramo ( x>6): reta com equação y=\dfrac{x}{3}-1. Traçar essa reta apenas para x>6. Em x=6 ela também dá y=1, então colocar também um círculo aberto em (6,1) para este ramo (mesmo ponto aberto).
    • Pontos úteis: x=7\Rightarrow y=4/3; x=9\Rightarrow y=2.
  • Resultado visual: duas retas que se aproximam do mesmo ponto (6,1) pela esquerda e pela direita, mas há um furo (círculo aberto) em (6,1) porque f(6) não está definido. Ambas as retas seguem para +\infty no sentido dos valores y.

Passo 7

Cálculo do limite à esquerda. Para limites laterais em funções definidas por expressão polinomial/racional contínua numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto), basta substituir o ponto no ramo correspondente. Assim,
\lim_{x\to6^-} f(x)=\lim_{x\to6^-} (7-x)=7-6=1.
Justificação: 7-x é contínua, e a aproximação por valores menores que 6 tende a x=6.

Passo 8

Cálculo do limite à direita:
\lim_{x\to6^+} f(x)=\lim_{x\to6^+}\left(\dfrac{x}{3}-1\right)=\dfrac{6}{3}-1=1.
Novamente a expressão é contínua no ponto considerado e a aproximação por valores maiores que 6 1.

Passo 9

Existência do limite em x=6. Regra: \lim_{x\to6} f(x) existe se, e somente se, \lim_{x\to6^-} f(x) e \lim_{x\to6^+} f(x) existem e são iguais. Aqui ambas existem e valem 1. Portanto
\lim_{x\to6} f(x)=1.
Observação final: isso não contradiz o fato de f(6) não estar definido — o limite pode existir mesmo que a função não tenha valor no ponto.

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,6)\cup(6,\infty).
(b) Gráfico: duas retas com um furo em (6,1): y=7-x para x<6 (reta decrescente, círculo aberto em (6,1)) e y=\dfrac{x}{3}-1 para x>6 (reta crescente, círculo aberto em (6,1)).
(c) \displaystyle \lim_{x\to6^-} f(x)=1 e \displaystyle \lim_{x\to6^+} f(x)=1.
(d) Sim. \displaystyle \lim_{x\to6} f(x)=1 (porque as duas limites laterais existem e são iguais).

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