Resolva as seguintes integrais. \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \sin ^{4} x d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \,\sin^{4} x \,dx.
Informações dadas:
Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{3}.
A função integranda é \cos x\,\sin^{4}x.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Escolha do método e ideia-chave (explicação didática).
Uma técnica muito útil quando a integranda contém uma função e sua derivada multiplicando‑a é a substituição (substituição de variável). Aqui vemos \sin x elevado a uma potência e multiplicado por \cos x\,dx. Repare que a derivada de \sin x é \cos x. Isso sugere a substituição
u=\sin x.
Explicando a regra: se u=g(x) é diferenciável, então du=g'(x)\,dx. Em integrais definidas é conveniente também trocar os limites usando u=g(x).
Agora aplicamos: como u=\sin x então
du=\cos x\,dx.
Portanto \cos x\,dx = du, e a integranda \cos x\,\sin^{4}x\,dx transforma‑se em u^{4}\,du.
Interpretação final e checagem rápida.
O resultado é positivo, o que faz sentido porque no intervalo 0\le x\le \dfrac{\pi}{3} temos \sin x\ge0 e \cos x\ge0, logo a integranda é não negativa. O valor obtido é \dfrac{9\sqrt{3}}{160}.