Resolva as seguintes integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \sin ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \,\sin^{4} x \,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{3}.
  • A função integranda é \cos x\,\sin^{4}x.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método e ideia-chave (explicação didática).
Uma técnica muito útil quando a integranda contém uma função e sua derivada multiplicando‑a é a substituição (substituição de variável). Aqui vemos \sin x elevado a uma potência e multiplicado por \cos x\,dx. Repare que a derivada de \sin x é \cos x. Isso sugere a substituição
u=\sin x.
Explicando a regra: se u=g(x) é diferenciável, então du=g'(x)\,dx. Em integrais definidas é conveniente também trocar os limites usando u=g(x).
Agora aplicamos: como u=\sin x então
du=\cos x\,dx.
Portanto \cos x\,dx = du, e a integranda \cos x\,\sin^{4}x\,dx transforma‑se em u^{4}\,du.
Troca dos limites:
\text{quando } x=0,\; u=\sin 0=0; \qquad \text{quando } x=\dfrac{\pi}{3},\; u=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x\,\sin^{4}x\,dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{4}\,du.

Passo 3

Calcular a integral em u.
Lembrete da fórmula de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=4, então uma primitiva de u^{4} é \dfrac{u^{5}}{5}. Como é uma integral definida, avaliamos a primitiva nos limites:
\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{4}\,du = \left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{5}\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}-0^{5}\right).

Passo 4

Avaliar a potência \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5} passo a passo.
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}=\frac{(\sqrt{3})^{5}}{2^{5}}.
Agora (\sqrt{3})^{5}=(3^{1/2})^{5}=3^{5/2}=3^{2}\cdot 3^{1/2}=9\sqrt{3}, e 2^{5}=32. Portanto
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}=\frac{9\sqrt{3}}{32}.
Substituindo na expressão anterior:
\frac{1}{5}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{32}=\frac{9\sqrt{3}}{160},
porque 5\cdot 32=160.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
O resultado é positivo, o que faz sentido porque no intervalo 0\le x\le \dfrac{\pi}{3} temos \sin x\ge0 e \cos x\ge0, logo a integranda é não negativa. O valor obtido é \dfrac{9\sqrt{3}}{160}.

Resposta

\dfrac{9\sqrt{3}}{160}

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