Resolva as seguintes integrais.
\int \frac{\ln x}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\ln x}{2}\,dx.
Informações relevantes: a função \ln x está definida para x>0. A integral indefinida deverá incluir uma constante de integração C.

Passo 2

Uso a linearidade da integral para tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral. Assim
\int \frac{\ln x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \ln x\,dx.
Portanto basta calcular \int \ln x\,dx e depois multiplicar o resultado por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Vou usar a fórmula de integração por partes. Esta fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integral. Aqui u é uma função que vamos derivar (para obter du) e dv é algo que sabemos integrar facilmente (para obter v). A ideia é reduzir a integral original a uma mais simples.

Passo 4

Escolho
u = \ln x,\qquad dv = dx.
Agora computo du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx,\qquad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 5

Aplico a fórmula de integração por partes:
\int \ln x\,dx = uv - \int v\,du = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto ao fator \tfrac{1}{2} que retiramos inicialmente:
\int \frac{\ln x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln x - x\bigr) + C.
Posso distribuir o \tfrac{1}{2} se quiser deixar numa forma mais explícita.

Resposta

\dfrac{1}{2}x\ln x - \dfrac{1}{2}x + C

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