Determinar a derivada das seguintes funglies vetcriais:
\vec{h}(t)=\frac{5 t-2}{2 t+1} \vec{i}+\ln \left(1-r^{t}\right) \vec{j}+5 \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função vetorial
\vec{h}(t)=\frac{5 t-2}{2 t+1}\,\vec{i}+\ln\!\left(1-r^{t}\right)\,\vec{j}+5\,\vec{k}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função vetorial tem três componentes: a componente em \vec{i} é \dfrac{5t-2}{2t+1}, a componente em \vec{j} é \ln\!\bigl(1-r^{t}\bigr) e a componente em \vec{k} é 5.
  • A letra r aparece apenas em r^{t}; como o enunciado não fornece r como variável, trataremos r como uma constante (parâmetro).
  • Domínio: para que \ln\!\bigl(1-r^{t}\bigr) esteja definido é preciso 1-r^{t}>0; ou seja, as derivadas só fazem sentido onde essa condição (e 2t+1\neq0) for satisfeita. Não vou pedir mais informações — seguirei assumindo r constante e t em um domínio onde tudo está bem definido.

Passo 2

Regra geral que vamos aplicar (explicando devagar):
  • A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se
\vec{h}(t)=h_1(t)\,\vec{i}+h_2(t)\,\vec{j}+h_3(t)\,\vec{k},
então
\vec{h}\,'(t)=h_1'(t)\,\vec{i}+h_2'(t)\,\vec{j}+h_3'(t)\,\vec{k}.
Ou seja, derivar a função vetorial é derivar cada função escalar que aparece nas componentes.

Passo 3

Derivada da componente em \vec{i}: \displaystyle h_1(t)=\frac{5t-2}{2t+1}.
  • Usamos a regra do quociente: se \displaystyle h_1(t)=\frac{p(t)}{q(t)} com p(t)=5t-2 e q(t)=2t+1, então
h_1'(t)=\frac{p'(t)\,q(t)-p(t)\,q'(t)}{[q(t)]^{2}}.
  • Calculando p'(t) e q'(t):
p'(t)=5,\qquad q'(t)=2.
  • Aplicando a fórmula:
h_1'(t)=\frac{5(2t+1)-(5t-2)\cdot 2}{(2t+1)^{2}}.
  • Desenvolvendo o numerador passo a passo:
5(2t+1)=10t+5, \qquad (5t-2)\cdot 2=10t-4,
10t+5-(10t-4)=10t+5-10t+4=9.
  • Logo
h_1'(t)=\frac{9}{(2t+1)^{2}}.
Observação: é importante notar que t não pode ser tal que 2t+1=0 porque aí a função original não estaria definida.

Passo 4

Derivada da componente em \vec{j}: \displaystyle h_2(t)=\ln\!\bigl(1-r^{t}\bigr).
  • Vamos usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural: se h_2(t)=\ln(u(t)) então h_2'(t)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
  • Aqui u(t)=1-r^{t}. Então precisamos de u'(t).
  • Derivada de r^{t} (com r constante): escrever r^{t}=e^{t\ln r}. Derivando,
\frac{d}{dt}r^{t}=e^{t\ln r}\cdot\ln r = r^{t}\ln r.
  • Assim
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-r^{t}\bigr)=-\frac{d}{dt}r^{t}=-r^{t}\ln r.
  • Agora aplicando a derivada do logaritmo:
h_2'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{-r^{t}\ln r}{1-r^{t}}.
  • Podemos reescrever de forma equivalente, se preferir,
h_2'(t)=\frac{r^{t}\ln r}{r^{t}-1},
mas ambas as formas são a mesma coisa. Lembre-se da condição de domínio 1-r^{t}>0 para que o log seja definido.

Passo 5

Derivada da componente em \vec{k}: \displaystyle h_3(t)=5.
  • A derivada de uma constante é zero, logo
h_3'(t)=0.

Passo 6

Juntando as três componentes usando o passo 2, obtemos a derivada vetorial:
\vec{h}\,'(t)=\frac{9}{(2t+1)^{2}}\,\vec{i}+\frac{-r^{t}\ln r}{1-r^{t}}\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
Se quiser, pode remover o 0\,\vec{k} ou reescrever a componente em \vec{j} com sinal trocado no denominador; ambas as formas estão corretas.

Resposta

\vec{h}\,'(t)=\frac{9}{(2t+1)^{2}}\,\vec{i}+\frac{-r^{t}\ln r}{1-r^{t}}\,\vec{j}.

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