Determinar a derivada das seguintes funglies vetcriais:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função vetorial
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função vetorial tem três componentes: a componente em
é , a componente em é e a componente em é . - A letra
aparece apenas em ; como o enunciado não fornece como variável, trataremos como uma constante (parâmetro). - Domínio: para que
esteja definido é preciso ; ou seja, as derivadas só fazem sentido onde essa condição (e ) for satisfeita. Não vou pedir mais informações — seguirei assumindo constante e em um domínio onde tudo está bem definido.
Passo 2
Regra geral que vamos aplicar (explicando devagar):
- A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se
então
Ou seja, derivar a função vetorial é derivar cada função escalar que aparece nas componentes.
Passo 3
Derivada da componente em
:
.
- Usamos a regra do quociente: se
com e , então
- Calculando
e :
- Aplicando a fórmula:
- Desenvolvendo o numerador passo a passo:
- Logo
Observação: é importante notar que
não pode ser tal que
porque aí a função original não estaria definida.
Passo 4
Derivada da componente em
:
.
- Vamos usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural: se
então . - Aqui
. Então precisamos de . - Derivada de
(com constante): escrever . Derivando,
- Assim
- Agora aplicando a derivada do logaritmo:
- Podemos reescrever de forma equivalente, se preferir,
mas ambas as formas são a mesma coisa. Lembre-se da condição de domínio
para que o log seja definido.
Passo 5
Derivada da componente em
:
.
- A derivada de uma constante é zero, logo
Passo 6
Juntando as três componentes usando o passo 2, obtemos a derivada vetorial:
Se quiser, pode remover o
ou reescrever a componente em
com sinal trocado no denominador; ambas as formas estão corretas.