Resolva as seguintes integrais:
integral x^3x^2-5 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3x^2-5x+6 ,dx. O conteúdo envolvido é integração de função racional, e vamos precisar primeiro fazer divisão de polinômios para separar um polinômio mais um resto sobre o denominador, e depois usar frações parciais.

Passo 2

Vamos dividir x^3 por x^2-5x+6:
– Dividindo, o quociente é x+5 e o resto é 19x-30, logo
x^3x^2-5x+6=x+5+19x-30x^2-5x+6

Passo 3

Agora decompomos 19x-30(x-2)(x-3) em frações parciais:
– Suponha 19x-30(x-2)(x-3)=Ax-2+Bx-3.
– Então A(x-3)+B(x-2)=19x-30. Igualando coeficientes dá
A+B=19 e -3A-2B=-30.
– Resolvendo: de A+B=19 vem A=19-B. Substituindo em 3A+2B=30 (mudamos de sinal) obtemos B=27 e A=-8.
Assim
19x-30x^2-5x+6=-8x-2+27x-3

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral(x+5),dx=x^22+5x+C1
integrall(-8x-2r),dx=-8ln|x-2|+C2
integral27x-3,dx=27ln|x-3|+C3
Somando tudo (absorvendo constantes em uma só) chega-se à antiderivada desejada.

Resposta

x^22+5x-8ln|x-2|+27ln|x-3|+C

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