Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).

Passo 1

Temos o conjunto S=(x,y)inR^2mid |x|<1 e |y|<1. O tema é topologia em R^2 e vamos usar definições de conjunto aberto, fechado, fechamento e fronteira.

Passo 2

Para provar que S é aberto, tome um ponto arbitrário p=(x0,y0) em S, ou seja, |x0|<1 e |y0|<1. Defina r=min1-|x0|,,1-|y0|. Como 1-|x0|>0 e 1-|y0|>0, temos r>0. Então a bola aberta Br(p)=(x,y)mid raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2 fica dentro de S, pois para qualquer (x,y) em Br(p) vale |x|<=|x0|+|x-x0|<|x0|+r<=1 e |y|<=|y0|+|y-y0|<|y0|+r<=1, logo (x,y) satisfaz |x|<1 e |y|<1. Portanto S é aberto.

Passo 3

Para ver que S não é fechado, note que um conjunto é fechado se contiver todos os seus pontos de aderência. A sequência (1-1/n,0) está em S e converge para (1,0), logo (1,0) é ponto de aderência de S. Mas (1,0)notin S, então S não é fechado.

Passo 4

O fechamento de S é o conjunto de todos os seus pontos de aderência e neste caso é o quadrado fechado
S=[-1,1]times[-1,1],
Como a parte interior é exatamente S, a fronteira partial S é
partial S=Ssetminus S,
e portanto
partial S=(-1,1times[-1,1])cup([-1,1]times-1,1)

Passo 5

Concluímos que S é aberto, não é fechado, e sua fronteira é o conjunto dos quatro lados do quadrado de vértices (-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1).

Resposta

O conjunto é aberto, não é fechado; sua fronteira é
partial S=(-1,1times[-1,1])cup([-1,1]times-1,1)

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