Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
Passo 1
Temos o conjunto . O tema é topologia em e vamos usar definições de conjunto aberto, fechado, fechamento e fronteira.
Passo 2
Para provar que é aberto, tome um ponto arbitrário em , ou seja, e . Defina . Como e , temos . Então a bola aberta fica dentro de , pois para qualquer em vale e , logo satisfaz e . Portanto é aberto.
Passo 3
Para ver que não é fechado, note que um conjunto é fechado se contiver todos os seus pontos de aderência. A sequência está em e converge para , logo é ponto de aderência de . Mas , então não é fechado.
Passo 4
O fechamento de é o conjunto de todos os seus pontos de aderência e neste caso é o quadrado fechado
Como a parte interior é exatamente S, a fronteira partial S é
partial S=Ssetminus S,
e portanto
partial S=(-1,1times[-1,1])cup([-1,1]times-1,1)
Passo 5
Concluímos que S é aberto, não é fechado, e sua fronteira é o conjunto dos quatro lados do quadrado de vértices (-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1).
Resposta
O conjunto é aberto, não é fechado; sua fronteira é