Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- A integranda é o produto de uma função ao quadrado,
, por outro fator . - A tarefa é usar mudança de variável (substituição) para resolver a integral e depois confirmar a resposta derivando a primitiva encontrada para recuperar a integranda.
Passo 2
Identificar uma boa mudança de variável. Observação prática (que aprendeu-se a notar estudando várias integrais): quando aparece uma expressão elevada a uma potência e outro fator igual à derivada dessa expressão, a substituição
(essa expressão) costuma simplificar muito.
Aqui veja que se definirmos
então a derivada de
em relação a
é
Ou seja,
. Note que esse fator aparece exatamente na integranda — ótimo sinal de que a substituição vai deixar a integral simples.
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
, a integral original transforma-se em
Expliquei acima por que a troca de
por
é válida: é a própria definição da diferencial de
.
Passo 4
Calcular
usando a regra da potência para integrais. Regra da potência (lembrando): para
,
onde
é a constante de integração.
Aplicando para
,
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva em termos de
é
Passo 6
Confirmar derivando a primitiva
e mostrando que recuperamos a integranda. Vamos derivar passo a passo usando a regra da cadeia.
A primitiva é
com
. Pela regra da cadeia,
Calculando
:
Substituindo,
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Comentário didático rápido e um exemplo extra curto para fixar a ideia: o método usado aqui chama-se substituição ou mudança de variável. A chave é reconhecer uma função composta
onde aparece
elevado a alguma potência e também aparece a derivada
fora. Outro exemplo simples:
. Fazendo
, tem-se
e a integral vira
.
Força nos estudos — essa técnica de substituir o “interno” pela letra
e ver se a diferencial aparece é uma das mais úteis em provas rápidas.