Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int\left(\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}+1\right)^{2}\left(3 \mathrm{x}^{2}-2\right) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\left(\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}+1\right)^{2}\left(3 \mathrm{x}^{2}-2\right)\mathrm{d}x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A integranda é o produto de uma função ao quadrado, \left(\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}+1\right)^{2}, por outro fator \left(3 \mathrm{x}^{2}-2\right).
  • A tarefa é usar mudança de variável (substituição) para resolver a integral e depois confirmar a resposta derivando a primitiva encontrada para recuperar a integranda.

Passo 2

Identificar uma boa mudança de variável. Observação prática (que aprendeu-se a notar estudando várias integrais): quando aparece uma expressão elevada a uma potência e outro fator igual à derivada dessa expressão, a substituição u= (essa expressão) costuma simplificar muito.
Aqui veja que se definirmos
u=\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1,
então a derivada de u em relação a \mathrm{x} é
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3\mathrm{x}^{2}-2.
Ou seja, (3\mathrm{x}^{2}-2)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}u. Note que esse fator aparece exatamente na integranda — ótimo sinal de que a substituição vai deixar a integral simples.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1 e \mathrm{d}u=(3\mathrm{x}^{2}-2)\,\mathrm{d}x, a integral original transforma-se em
\int u^{2}\,\mathrm{d}u.
Expliquei acima por que a troca de (3\mathrm{x}^{2}-2)\mathrm{d}x por \mathrm{d}u é válida: é a própria definição da diferencial de u(\mathrm{x}).

Passo 4

Calcular \displaystyle\int u^{2}\,\mathrm{d}u usando a regra da potência para integrais. Regra da potência (lembrando): para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
Aplicando para n=2,
\int u^{2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1. Assim a primitiva em termos de \mathrm{x} é
F(\mathrm{x})=\frac{\left(\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1\right)^{3}}{3}+C.

Passo 6

Confirmar derivando a primitiva F(\mathrm{x}) e mostrando que recuperamos a integranda. Vamos derivar passo a passo usando a regra da cadeia.
A primitiva é F(\mathrm{x})=\dfrac{1}{3}\bigl(u(\mathrm{x})\bigr)^{3} com u(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1. Pela regra da cadeia,
F'(\mathrm{x})=\frac{1}{3}\cdot 3\bigl(u(\mathrm{x})\bigr)^{2}\cdot u'(\mathrm{x}).
Calculando u'(\mathrm{x}):
u'(\mathrm{x})=3\mathrm{x}^{2}-2.
Substituindo,
F'(\mathrm{x})=\bigl(\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1\bigr)^{2}\cdot(3\mathrm{x}^{2}-2),
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Comentário didático rápido e um exemplo extra curto para fixar a ideia: o método usado aqui chama-se substituição ou mudança de variável. A chave é reconhecer uma função composta g(h(x)) onde aparece h(x) elevado a alguma potência e também aparece a derivada h'(x) fora. Outro exemplo simples: \int(\sin x)^{2}\cos x\,\mathrm{d}x. Fazendo u=\sin x, tem-se \mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x e a integral vira \int u^{2}\mathrm{d}u=\dfrac{u^{3}}{3}+C=\dfrac{(\sin x)^{3}}{3}+C.
Força nos estudos — essa técnica de substituir o “interno” pela letra u e ver se a diferencial aparece é uma das mais úteis em provas rápidas.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}+1\right)^{3}}{3}+C

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