Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a primitiva apresentada está correta. Informação dada:
- A integral proposta é
. - A primitiva indicada no enunciado é
.
O objetivo aqui é confirmar se essa primitiva realmente deriva para o integrando dado, usando o conceito de primitiva (antiderivada).
Passo 2
Relembrando o que é primitiva (aula rapidinha e prática):
- Uma função
é primitiva de em um intervalo quando para todo nesse intervalo. - Para verificar se uma expressão é primitiva de
, basta derivá-la e comparar com . - Outra forma prática de encontrar primitivas é usar substituição: se aparece
no integrando, então . Atenção: é preciso verificar o fator multiplicativo.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva corretamente por substituição (passo a passo, tipo prova de exame):
- Faça a troca
. Então - Reescrevendo o integrando usando
: - Agora integramos em
: - Voltando para
(lembrando que ):
Portanto a primitiva correta obtida por substituição é
.
Passo 4
Verificação direta derivando a primitiva indicada no enunciado (para treinar a técnica de checar respostas na prova):
- Se alguém propõe
, calcule . - Usando regra da cadeia e a fórmula
para , temos - Isso mostra que
, ou seja, é primitiva de , mas não de . Falta o fator .
Passo 5
Conclusão e observação sobre domínio (coisa que cai em prova):
- A expressão dada no enunciado,
, não é primitiva correta de — ela gera ao derivar. - A primitiva correta é
. - Sobre domínio: estamos trabalhando com logaritmo natural real, portanto é necessário
e (pois em temos e o integrando não está definido). A fórmula com está válida para com .