Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas.
\int \frac{3}{t \cdot \ln (t)} d t=\ln |\ln (t)|+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a primitiva apresentada está correta. Informação dada:
  • A integral proposta é \displaystyle \int \frac{3}{t\cdot \ln(t)}\,dt.
  • A primitiva indicada no enunciado é \displaystyle \ln|\ln(t)|+C.
O objetivo aqui é confirmar se essa primitiva realmente deriva para o integrando dado, usando o conceito de primitiva (antiderivada).

Passo 2

Relembrando o que é primitiva (aula rapidinha e prática):
  • Uma função F(t) é primitiva de f(t) em um intervalo quando \,F'(t)=f(t)\, para todo t nesse intervalo.
  • Para verificar se uma expressão é primitiva de f, basta derivá-la e comparar com f.
  • Outra forma prática de encontrar primitivas é usar substituição: se aparece \frac{g'(t)}{g(t)} no integrando, então \int \frac{g'(t)}{g(t)}\,dt=\ln|g(t)|+C. Atenção: é preciso verificar o fator multiplicativo.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva corretamente por substituição (passo a passo, tipo prova de exame):
  • Faça a troca u=\ln(t). Então du=\frac{1}{t}\,dt.
  • Reescrevendo o integrando usando u: \frac{3}{t\cdot \ln(t)}\,dt = 3\cdot\frac{1}{\ln(t)}\cdot\frac{1}{t}\,dt = 3\cdot\frac{1}{u}\,du.
  • Agora integramos em u: \int 3\cdot\frac{1}{u}\,du = 3\int \frac{1}{u}\,du = 3\ln|u| + C.
  • Voltando para t (lembrando que u=\ln(t)): \int \frac{3}{t\cdot \ln(t)}\,dt = 3\ln|\ln(t)| + C.
Portanto a primitiva correta obtida por substituição é 3\ln|\ln(t)|+C.

Passo 4

Verificação direta derivando a primitiva indicada no enunciado (para treinar a técnica de checar respostas na prova):
  • Se alguém propõe F(t)=\ln|\ln(t)|, calcule F'(t).
  • Usando regra da cadeia e a fórmula \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x} para x\neq0, temos F'(t)=\frac{1}{\ln(t)}\cdot\frac{d}{dt}\ln(t)=\frac{1}{\ln(t)}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{t\ln(t)}.
  • Isso mostra que \displaystyle \frac{d}{dt}\ln|\ln(t)|=\frac{1}{t\ln(t)}, ou seja, \ln|\ln(t)| é primitiva de \dfrac{1}{t\ln(t)}, mas não de \dfrac{3}{t\ln(t)}. Falta o fator 3.

Passo 5

Conclusão e observação sobre domínio (coisa que cai em prova):
  • A expressão dada no enunciado, \ln|\ln(t)|+C, não é primitiva correta de \dfrac{3}{t\ln(t)} — ela gera \dfrac{1}{t\ln(t)} ao derivar.
  • A primitiva correta é \displaystyle 3\ln|\ln(t)|+C.
  • Sobre domínio: estamos trabalhando com logaritmo natural real, portanto é necessário t>0 e t\neq1 (pois em t=1 temos \ln(t)=0 e o integrando não está definido). A fórmula com \ln|\ln(t)| está válida para t>0 com \ln(t)\neq0.

Resposta

\displaystyle \int \frac{3}{t\cdot \ln(t)}\,dt = 3\ln|\ln(t)| + C (válido para t>0,\;t\neq1).

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