Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar a função integranda. As informações que temos são apenas a expressão integranda
e que devemos usar mudança de variável.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integranda (por que pensar em mudança de variável):
- Dentro da raiz aparece a expressão
. - A derivada de
em relação a é , que difere da parte da integral apenas por um fator constante.
Isso sugere fazer a substituição típica para compostos do tipo: definir a nova variável como o conteúdo da raiz, o que simplifica a integral.
Façamos a substituição:
Passo 3
Calcular
e expressar
em termos de
:
Logo
Passo 4
Substituir na integral original. A raiz vira
e
vira
. Assim
Explicando a regra de potência para integrais (fórmula que vamos usar):
- Para
, .
Aqui, portanto aplicamos a fórmula com .
Passo 5
Calcule a integral em
:
Simplificando o fator constante:
Portanto a primitiva em
é
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
:
Passo 7
Verificação (derivar a primitiva para recuperar a integranda). Usamos a regra da cadeia: se
, então
Calcule cada fator:
Multiplicando tudo:
que é exatamente a função integranda. Confirmação feita.