Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int x \sqrt{x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{x^{2}+3}\,dx
e confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar a função integranda. As informações que temos são apenas a expressão integranda x\sqrt{x^{2}+3} e que devemos usar mudança de variável.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integranda (por que pensar em mudança de variável):
  • Dentro da raiz aparece a expressão x^{2}+3.
  • A derivada de x^{2}+3 em relação a x é 2x, que difere da parte x\,dx da integral apenas por um fator constante.
    Isso sugere fazer a substituição típica para compostos do tipo \sqrt{x^{2}+a}: definir a nova variável como o conteúdo da raiz, o que simplifica a integral.
Façamos a substituição:
u = x^{2}+3.

Passo 3

Calcular du e expressar x\,dx em termos de du:
du = \frac{d}{dx}(x^{2}+3)\,dx = 2x\,dx.
Logo
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituir na integral original. A raiz vira \sqrt{u} e x\,dx vira \dfrac{1}{2}du. Assim
\int x \sqrt{x^{2}+3}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
Explicando a regra de potência para integrais (fórmula que vamos usar):
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
    Aqui n=\tfrac{1}{2}, portanto aplicamos a fórmula com n+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Calcule a integral em u:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C.
Simplificando o fator constante:
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3/2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
Portanto a primitiva em u é
\frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x substituindo u = x^{2}+3:
F(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{3/2}+C.

Passo 7

Verificação (derivar a primitiva para recuperar a integranda). Usamos a regra da cadeia: se F(x)=\dfrac{1}{3}(x^{2}+3)^{3/2}, então
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}+3).
Calcule cada fator:
\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2},\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}+3)=2x.
Multiplicando tudo:
F'(x)=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{1/2}\cdot 2x = x\bigl(x^{2}+3\bigr)^{1/2},
que é exatamente a função integranda. Confirmação feita.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{3/2}+C

Exercícios relacionados