Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int 5^{\operatorname{sen}(\mathrm{x})} \cos (\mathrm{x}) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) de
\int 5^{\operatorname{sen}(x)} \cos(x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e o que precisa ser feito:
  • A função a integrar é 5^{\operatorname{sen}(x)}\cos(x).
  • Deve-se usar mudança de variável (substituição).
  • Depois é exigido confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta à função integranda.
    Observação de notação: a função \operatorname{sen}(x) é o mesmo que \sin(x); a partir de agora vou escrever \sin(x).

Passo 2

Escolha da substituição. A técnica de mudança de variável consiste em identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a. Aqui vemos \sin(x) e seu derivado \cos(x) aparece multiplicando. Então escolhemos
u=\sin(x).
Calculamos a diferencial u:
\mathrm{d}u=\cos(x)\,\mathrm{d}x.
Isto mostra que \cos(x)\,\mathrm{d}x pode ser substituído por \mathrm{d}u. Essa é a ideia central da substituição: transformar a integral em termos de u, mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=\sin(x) e \mathrm{d}u=\cos(x)\,\mathrm{d}x, obtemos
\int 5^{\sin(x)}\cos(x)\,\mathrm{d}x=\int 5^{u}\,\mathrm{d}u.
Agora precisamos integrar \int 5^{u}\,\mathrm{d}u. Lembrando a fórmula para a primitiva de uma exponencial de base a>0, a\neq1:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(a^{u}\bigr)=a^{u}\ln(a).
Portanto uma primitiva de a^{u} é \dfrac{a^{u}}{\ln(a)}, pois ao derivar \dfrac{a^{u}}{\ln(a)} volta-se a a^{u}. Aplicando com a=5:
\int 5^{u}\,\mathrm{d}u=\frac{5^{u}}{\ln(5)}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltar à variável original x trocando u por \sin(x). Assim a primitiva da integral original é
F(x)=\frac{5^{\sin(x)}}{\ln(5)}+C.
Expliquei acima por que a fórmula \dfrac{5^{u}}{\ln 5} é válida: porque a derivada de 5^{u} dá um fator \ln 5, que é cancelado ao dividir por \ln 5.

Passo 5

Confirmar a resposta derivando F(x) e verificando que obtemos a integranda. Calculemos F'(x):
F(x)=\frac{5^{\sin(x)}}{\ln(5)}+C.
Usamos a regra da cadeia e a regra para derivar a^{g(x)}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(5^{\sin(x)}\bigr)=5^{\sin(x)}\ln(5)\cdot\cos(x).
Logo
F'(x)=\frac{1}{\ln(5)}\cdot\bigl(5^{\sin(x)}\ln(5)\cdot\cos(x)\bigr)=5^{\sin(x)}\cos(x).
Isso coincide exatamente com a função integranda dada, então a primitiva encontrada está correta.

Passo 6

Observação didática curta e exemplo análogo: a mesma ideia vale para \int e^{\sin x}\cos x\,\mathrm{d}x; escolhendo u=\sin x obtém-se \int e^{u}\mathrm{d}u=e^{u}+C, logo primitiva e^{\sin x}+C. O procedimento é idêntico à integral com base 5, só que no caso da base e aparece \ln(e)=1.

Resposta

\dfrac{5^{\sin(x)}}{\ln(5)}+C

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