Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) de
Informações dadas e o que precisa ser feito:
- A função a integrar é
. - Deve-se usar mudança de variável (substituição).
- Depois é exigido confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta à função integranda.
Observação de notação: a funçãoé o mesmo que ; a partir de agora vou escrever .
Passo 2
Escolha da substituição. A técnica de mudança de variável consiste em identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a. Aqui vemos
e seu derivado
aparece multiplicando. Então escolhemos
Calculamos a diferencial
:
Isto mostra que
pode ser substituído por
. Essa é a ideia central da substituição: transformar a integral em termos de
, mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
, obtemos
Agora precisamos integrar
. Lembrando a fórmula para a primitiva de uma exponencial de base
,
:
Portanto uma primitiva de
é
, pois ao derivar
volta-se a
. Aplicando com
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Voltar à variável original
trocando
por
. Assim a primitiva da integral original é
Expliquei acima por que a fórmula
é válida: porque a derivada de
dá um fator
, que é cancelado ao dividir por
.
Passo 5
Confirmar a resposta derivando
e verificando que obtemos a integranda. Calculemos
:
Usamos a regra da cadeia e a regra para derivar
:
Logo
Isso coincide exatamente com a função integranda dada, então a primitiva encontrada está correta.
Passo 6
Observação didática curta e exemplo análogo: a mesma ideia vale para
; escolhendo
obtém-se
, logo primitiva
. O procedimento é idêntico à integral com base
, só que no caso da base
aparece
.