Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{d x}{\sqrt{3 x-5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{3x-5}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \dfrac{1}{\sqrt{3x-5}}, ou seja, (3x-5)^{-1/2}.
  • Para que a raiz quadrada seja real precisamos de 3x-5>0, isto é x>\tfrac{5}{3}.
  • É solicitado usar mudanças de variáveis e, depois de obter a primitiva, confirmar derivando-a para recuperar a integranda.

Passo 2

Ideia da mudança de variável: quando aparece uma expressão linear ax+b dentro de uma raiz é comum fazer a substituição que torne essa expressão a nova variável, porque isso simplifica a raiz. Então escolhemos a mudança
u = 3x-5.
Aqui u é a nova variável que representa a expressão que está dentro da raiz.

Passo 3

Calcular a diferencial correspondente e isolar dx. Derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=3.
Isolando dx temos
dx=\frac{du}{3}.

Passo 4

Substituir u e dx na integral para escrevê-la em termos de u. Como \sqrt{3x-5}=\sqrt{u}, a integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{3x-5}}=\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3}.
Tirando a constante 1/3 para fora,
\int \frac{dx}{\sqrt{3x-5}}=\frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência para primitiva: para u^{p} com p\neq -1 vale \int u^{p}\,du=\dfrac{u^{p+1}}{p+1}+C. Aqui p=-\tfrac{1}{2}, logo p+1=\tfrac{1}{2}. Aplicando,
\frac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}+C.
Como dividir por 1/2 é multiplicar por 2, isso simplifica para
\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}u^{1/2}.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=3x-5. Assim a primitiva encontrada é
F(x)=\frac{2}{3}\sqrt{3x-5}+C.
Lembre-se que C é a constante de integração e que a expressão é válida para x>\tfrac{5}{3}.

Passo 7

Confirmar derivando a primitiva F(x) para recuperar a integranda, usando a regra da cadeia. Derivando,
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl((3x-5)^{1/2}\bigr).
Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}( (3x-5)^{1/2} )=\dfrac{1}{2}(3x-5)^{-1/2}\cdot 3. Portanto
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(3x-5)^{-1/2}\cdot 3.
Simplificando os fatores \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3 obtemos 1, então
F'(x)= (3x-5)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3x-5}}.
Isso coincide com a integranda original, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3x-5}+C

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