Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
, ou seja, . - Para que a raiz quadrada seja real precisamos de
, isto é . - É solicitado usar mudanças de variáveis e, depois de obter a primitiva, confirmar derivando-a para recuperar a integranda.
Passo 2
Ideia da mudança de variável: quando aparece uma expressão linear
dentro de uma raiz é comum fazer a substituição que torne essa expressão a nova variável, porque isso simplifica a raiz. Então escolhemos a mudança
Aqui
é a nova variável que representa a expressão que está dentro da raiz.
Passo 3
Calcular a diferencial correspondente e isolar
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substituir
e
na integral para escrevê-la em termos de
. Como
, a integral fica
Tirando a constante
para fora,
Passo 5
Integrar usando a regra da potência para primitiva: para
com
vale
. Aqui
, logo
. Aplicando,
Como dividir por
é multiplicar por
, isso simplifica para
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Lembre-se que
é a constante de integração e que a expressão é válida para
.
Passo 7
Confirmar derivando a primitiva
para recuperar a integranda, usando a regra da cadeia. Derivando,
Aplicando a regra da cadeia:
. Portanto
Simplificando os fatores
obtemos
, então
Isso coincide com a integranda original, confirmando que a primitiva está correta.