Resolva os seguintes itens:
(a) Existem
tais que
?
(a) Existem
Passo 1
O enunciado pergunta se existem
tais que
Informações dadas:
-
e são inteiros estritamente positivos (ou seja, e ). - A equação que devemos satisfazer é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: como
e
, o produto
é positivo, então podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por
sem mudar a solução. Multiplicar para eliminar os denominadores é uma técnica básica: quando uma expressão racional é igual a um número, multiplicar pelo denominador (desde que não seja zero) limpa a fração e produz uma equação polinomial mais simples.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação polinomial:
Passo 4
Agora reescrevemos a equação agrupando todos os termos a um lado:
Reconhecemos no lado esquerdo a identidade do quadrado da diferença. Ou seja, a expressão é igual a
Vou explicar: ao expandir
obtemos
, exatamente o que tem na equação anterior. Essa é uma fatoração padrão que muitas vezes simplifica muito o problema.
Passo 5
Se
, então necessariamente
, porque o quadrado de um número real é zero somente quando o próprio número é zero. Logo
Como
e
são positivos inteiros, qualquer
combinado com
satisfaz a equação original. Por exemplo,
dá
;
dá
, e assim por diante.
Passo 6
Comentário alternativo (curtinho e útil para prova): aplicando a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) a
e
, temos
logo
com igualdade se, e somente se,
, isto é, se
. Isso dá a mesma conclusão de forma elegante.
Resposta
Sim. Existem infinitamente muitos: todos os pares
com
.