Resolva os seguintes itens:
(a) Existem p, q \in \mathbb{Z}_{++}tais que \frac{p}{q}+\frac{q}{p}=2 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existem p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que
\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=2.
Informações dadas:
  • p e q são inteiros estritamente positivos (ou seja, p>0 e q>0).
  • A equação que devemos satisfazer é \dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}=2.

Passo 2

Primeiro passo prático: como p>0 e q>0, o produto pq é positivo, então podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por pq sem mudar a solução. Multiplicar para eliminar os denominadores é uma técnica básica: quando uma expressão racional é igual a um número, multiplicar pelo denominador (desde que não seja zero) limpa a fração e produz uma equação polinomial mais simples.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por pq obtemos a equação polinomial:
p^2+q^2=2pq.

Passo 4

Agora reescrevemos a equação agrupando todos os termos a um lado:
p^2-2pq+q^2=0.
Reconhecemos no lado esquerdo a identidade do quadrado da diferença. Ou seja, a expressão é igual a
(p-q)^2=0.
Vou explicar: ao expandir (p-q)^2 obtemos p^2-2pq+q^2, exatamente o que tem na equação anterior. Essa é uma fatoração padrão que muitas vezes simplifica muito o problema.

Passo 5

Se (p-q)^2=0, então necessariamente p-q=0, porque o quadrado de um número real é zero somente quando o próprio número é zero. Logo
p=q.
Como p e q são positivos inteiros, qualquer p\in\mathbb{Z}_{++} combinado com q=p satisfaz a equação original. Por exemplo, (p,q)=(1,1) \tfrac{1}{1}+\tfrac{1}{1}=2; (2,2) \tfrac{2}{2}+\tfrac{2}{2}=2, e assim por diante.

Passo 6

Comentário alternativo (curtinho e útil para prova): aplicando a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) a x=\dfrac{p}{q}>0 e 1/x=\dfrac{q}{p}, temos
\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge 1,
logo x+\frac{1}{x}\ge 2 com igualdade se, e somente se, x=1, isto é, se p=q. Isso dá a mesma conclusão de forma elegante.

Resposta

Sim. Existem infinitamente muitos: todos os pares (p,p) com p\in\mathbb{Z}_{++}.

Exercícios relacionados