Resolva os seguintes itens:
(b) Existem
tais que
?
(b) Existem
Passo 1
O enunciado pergunta se existem números inteiros positivos
tais que
Informações dadas e o que é pedido:
- As variáveis
e pertencem a (ou seja, são inteiros positivos). - A equação a verificar é
. - A pergunta é: existem ou não tais
e ? (resposta sim ou não, com justificativa).
Passo 2
Primeiro vamos transformar a equação em uma forma inteira, evitando frações. Multiplicamos ambos os lados por
(que é positivo, então não mudamos sinais) para obter uma equação em inteiros:
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 3
A equação é simétrica em
e
. Uma boa estratégia em problemas diofantinos simétricos é reduzir pelo máximo divisor comum. Seja
. Então existem inteiros positivos
com
tais que
Vamos substituir na equação para trabalhar com
e
.
Passo 4
Substituindo
e
em
obtemos
Fatorando
(que é >0) temos
Como
, podemos dividir por
e restar:
Logo basta estudar a existência de inteiros positivos coprimos
que satisfaçam essa equação.
Passo 5
Vamos ver a equação como uma equação quadrática em
(mantendo
fixo):
Para uma equação quadrática
com coeficientes inteiros, uma condição necessária para que exista solução inteira
é que o discriminante seja um quadrado perfeito. Aqui o discriminante (em
) é
Portanto precisamos que
seja um quadrado perfeito.
Passo 6
Analise da condição
ser quadrado perfeito. Suponha que existe um inteiro
tal que
Então
divide
, portanto
divide
. Escreva
. Substituindo:
Isso mostra que
também divide
, logo
divide
. Reescrevendo
e repetindo o argumento, obteríamos que
é múltiplo arbitrariamente grande de
, o que é impossível para um inteiro fixo (esse é um argumento clássico de descida infinita). A conclusão direta é que a igualdade
só é possível se
, mas
deve ser positivo. Outra maneira mais direta: pela fatoração prima,
tem o fator primo
com expoente ímpar (pois expoente em
é par, somado mais 1 dá ímpar), então não pode ser um quadrado perfeito. Em resumo: para
,
não é um quadrado perfeito.
Passo 7
Como
não é quadrado perfeito para
, o discriminante
não é quadrado perfeito. Logo a fórmula de Bhaskara daria raízes
que não são inteiras. Portanto não existe
que satisfaça
quando
.
Passo 8
Voltando aos
e
: como não existem inteiros positivos coprimos
que satisfaçam a equação reduzida, não existem inteiros positivos
(com qualquer gcd
) que satisfaçam a equação original. Concluímos que a resposta é negativa.
Resposta
Não existem
tais que
.