Resolva os seguintes itens:
(b) Existem p, q \in \mathbb{Z}_{++}tais que \frac{p}{q}+\frac{q}{p}=3 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existem números inteiros positivos p,q tais que
\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=3.
Informações dadas e o que é pedido:
  • As variáveis p e q pertencem a \mathbb{Z}_{++} (ou seja, são inteiros positivos).
  • A equação a verificar é \dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}=3.
  • A pergunta é: existem ou não tais p e q? (resposta sim ou não, com justificativa).

Passo 2

Primeiro vamos transformar a equação em uma forma inteira, evitando frações. Multiplicamos ambos os lados por pq (que é positivo, então não mudamos sinais) para obter uma equação em inteiros:
\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=3 \quad\Longrightarrow\quad p^2 + q^2 = 3pq.
Reescrevendo em forma padrão:
p^2 - 3pq + q^2 = 0.

Passo 3

A equação é simétrica em p e q. Uma boa estratégia em problemas diofantinos simétricos é reduzir pelo máximo divisor comum. Seja d=\gcd(p,q). Então existem inteiros positivos a,b com \gcd(a,b)=1 tais que
p = d a,\qquad q = d b.
Vamos substituir na equação para trabalhar com a e b.

Passo 4

Substituindo p=d a e q=d b em p^2-3pq+q^2=0 obtemos
(d a)^2 - 3(d a)(d b) + (d b)^2 = 0.
Fatorando d^2 (que é >0) temos
d^2\bigl(a^2 - 3ab + b^2\bigr)=0.
Como d^2>0, podemos dividir por d^2 e restar:
a^2 - 3ab + b^2 = 0.
Logo basta estudar a existência de inteiros positivos coprimos a,b que satisfaçam essa equação.

Passo 5

Vamos ver a equação como uma equação quadrática em a (mantendo b fixo):
a^2 - 3ab + b^2 = 0.
Para uma equação quadrática a^2 + Ca + D=0 com coeficientes inteiros, uma condição necessária para que exista solução inteira a é que o discriminante seja um quadrado perfeito. Aqui o discriminante (em a) é
\Delta = (-3b)^2 - 4\cdot 1 \cdot b^2 = 9b^2 - 4b^2 = 5b^2.
Portanto precisamos que 5b^2 seja um quadrado perfeito.

Passo 6

Analise da condição 5b^2 ser quadrado perfeito. Suponha que existe um inteiro k tal que
k^2 = 5b^2.
Então 5 divide k^2, portanto 5 divide k. Escreva k=5m. Substituindo:
(5m)^2 = 5b^2 \quad\Longrightarrow\quad 25m^2 = 5b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 5m^2.
Isso mostra que 5 também divide b^2, logo 5 divide b. Reescrevendo b=5n e repetindo o argumento, obteríamos que b é múltiplo arbitrariamente grande de 5, o que é impossível para um inteiro fixo (esse é um argumento clássico de descida infinita). A conclusão direta é que a igualdade k^2=5b^2 só é possível se b=0, mas b deve ser positivo. Outra maneira mais direta: pela fatoração prima, 5b^2 tem o fator primo 5 com expoente ímpar (pois expoente em b^2 é par, somado mais 1 dá ímpar), então não pode ser um quadrado perfeito. Em resumo: para b>0, 5b^2 não é um quadrado perfeito.

Passo 7

Como 5b^2 não é quadrado perfeito para b>0, o discriminante \Delta não é quadrado perfeito. Logo a fórmula de Bhaskara daria raízes
a = \frac{3b \pm \sqrt{5b^2}}{2} = b\cdot\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},
que não são inteiras. Portanto não existe a\in\mathbb{Z}_{++} que satisfaça a^2-3ab+b^2=0 quando b>0.

Passo 8

Voltando aos p e q: como não existem inteiros positivos coprimos a,b que satisfaçam a equação reduzida, não existem inteiros positivos p,q (com qualquer gcd d) que satisfaçam a equação original. Concluímos que a resposta é negativa.

Resposta

Não existem p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que \dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}=3.

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