Mostre que não existe p, q \in \mathbb{Z}_{++}tais que \underset{q}{R} \underset{q}{R}=5. Em outras palavras, \sqrt{5} não é um número racional. Sugestão: Use o fato que p e q possuem fatoraçāo única em números primos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que não existem p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que \sqrt{5}=\dfrac{p}{q}.
Informações relevantes dadas ou úteis (listadas claramente):
  • Queremos provar que \sqrt{5} não é racional, isto é, não pode ser escrito como razão de inteiros positivos p/q.
  • Podemos usar o fato sugerido: p e q têm fatoração única em primos (Teorema Fundamental da Aritmética).
  • Podemos assumir, sem perda de generalidade, que p e q são coprimos (se tivessem um divisor comum, poderíamos simplificá-los).

Passo 2

Estratégia inicial e começo do argumento por contradição. Suponha, para obter contradição, que existam p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que
\sqrt{5}=\frac{p}{q}.
Explique por que podemos assumir que a fração está irredutível (ou seja, \gcd(p,q)=1). Se p e q tivessem um divisor comum d>1, então p=p' d e q=q' d e
\sqrt{5}=\frac{p}{q}=\frac{p'd}{q'd}=\frac{p'}{q'},
logo podemos substituir por p',q' menores até que a fração esteja em termos coprimos. Portanto supomos, a partir de agora, que
\gcd(p,q)=1.

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e obter uma igualdade de inteiros. Isso facilita o uso da fatoração prima. Elevando em ambos os lados:
\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\frac{p}{q}\right)^2
portanto
p^2 = 5\,q^2.
Esta é a equação-chave que vamos analisar com fatoração em primos.

Passo 4

Recordando o que diz a fatoração única e uma propriedade de quadrados. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, qualquer inteiro n>1 pode ser escrito de modo único (até ordem) como produto de primos:
n=\prod_{i} r_i^{\alpha_i},
onde os r_i são primos distintos e os \alpha_i são inteiros não negativos. Importante: se n é um quadrado perfeito, ou seja n=m^2, então todos os expoentes \alpha_i na fatoração de n são pares (pois m=\prod r_i^{\beta_i} e m^2=\prod r_i^{2\beta_i}). Em outras palavras, os expoentes de primos numa potência de segundo grau são sempre números pares.

Passo 5

Aplicando a observação dos expoentes pares à equação p^2=5q^2. Escrevamos as fatorações primas (formalmente, mas só precisamos olhar para o primo 5). Seja v_5(n) o expoente do primo 5 na fatoração de n (ou seja, quantas vezes 5 divide n). Então:
  • Como p^2 é um quadrado, v_5(p^2) é par. Contudo v_5(p^2)=2\,v_5(p), claramente par.
  • Escrevendo o lado direito, 5q^2 tem expoente de 5 igual a
v_5(5q^2)=1+v_5(q^2)=1+2\,v_5(q).
Aqui 2\,v_5(q) é par, então 1+2\,v_5(q) é ímpar.

Passo 6

Contradição por paridade do expoente de 5. A igualdade p^2=5q^2 implica que os exponentes de cada primo na fatoração de p^2 e de 5q^2 coincidem. Em particular, o expoente do primo 5 em p^2 deve ser igual ao expoente do primo 5 em 5q^2. Mas do Passo 5 temos que v_5(p^2) é par e v_5(5q^2) é ímpar. Um número não pode ser simultaneamente par e ímpar. Isso é uma contradição.

Passo 7

Conclusão lógica. A contradição veio da suposição de que existem inteiros positivos p,q com \sqrt{5}=p/q. Portanto essa suposição é falsa. Logo não existem tais p,q.

Resposta

Não existem p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que \sqrt{5}=\dfrac{p}{q}.

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