Mostre que não existe
tais que
. Em outras palavras,
não é um número racional. Sugestão: Use o fato que
e
possuem fatoraçāo única em números primos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que não existem
tais que
.
Informações relevantes dadas ou úteis (listadas claramente):
Informações relevantes dadas ou úteis (listadas claramente):
- Queremos provar que
não é racional, isto é, não pode ser escrito como razão de inteiros positivos . - Podemos usar o fato sugerido:
e têm fatoração única em primos (Teorema Fundamental da Aritmética). - Podemos assumir, sem perda de generalidade, que
e são coprimos (se tivessem um divisor comum, poderíamos simplificá-los).
Passo 2
Estratégia inicial e começo do argumento por contradição. Suponha, para obter contradição, que existam
tais que
Explique por que podemos assumir que a fração está irredutível (ou seja,
). Se
e
tivessem um divisor comum
, então
e
e
logo podemos substituir por
menores até que a fração esteja em termos coprimos. Portanto supomos, a partir de agora, que
Passo 3
Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e obter uma igualdade de inteiros. Isso facilita o uso da fatoração prima. Elevando em ambos os lados:
portanto
Esta é a equação-chave que vamos analisar com fatoração em primos.
Passo 4
Recordando o que diz a fatoração única e uma propriedade de quadrados. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, qualquer inteiro
pode ser escrito de modo único (até ordem) como produto de primos:
onde os
são primos distintos e os
são inteiros não negativos. Importante: se
é um quadrado perfeito, ou seja
, então todos os expoentes
na fatoração de
são pares (pois
e
). Em outras palavras, os expoentes de primos numa potência de segundo grau são sempre números pares.
Passo 5
Aplicando a observação dos expoentes pares à equação
. Escrevamos as fatorações primas (formalmente, mas só precisamos olhar para o primo
). Seja
o expoente do primo
na fatoração de
(ou seja, quantas vezes
divide
). Então:
- Como
é um quadrado, é par. Contudo , claramente par. - Escrevendo o lado direito,
tem expoente de igual a
Aqui
é par, então
é ímpar.
Passo 6
Contradição por paridade do expoente de
. A igualdade
implica que os exponentes de cada primo na fatoração de
e de
coincidem. Em particular, o expoente do primo
em
deve ser igual ao expoente do primo
em
. Mas do Passo 5 temos que
é par e
é ímpar. Um número não pode ser simultaneamente par e ímpar. Isso é uma contradição.
Passo 7
Conclusão lógica. A contradição veio da suposição de que existem inteiros positivos
com
. Portanto essa suposição é falsa. Logo não existem tais
.
Resposta
Não existem
tais que
.