Resolva os seguintes limites:
(b) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2-x}-x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2-x} - x}{x-1}.
Esse limite apresenta a forma \tfrac{0}{0}, pois ao substituir x=1 temos \sqrt{1}-1=0 no numerador e 1-1=0 no denominador. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2-x} + x:
\frac{\sqrt{2-x} - x}{x-1} \;\times\; \frac{\sqrt{2-x} + x}{\sqrt{2-x} + x} \;=\; \frac{(2-x) - x^2}{(x-1)\bigl(\sqrt{2-x} + x\bigr)}.

Passo 3

Repare que
(2 - x) - x^2 = -\bigl(x^2 + x - 2\bigr) = -(x-1)(x+2).
Logo a expressão se simplifica para
\frac{-(x-1)(x+2)}{(x-1)\bigl(\sqrt{2-x} + x\bigr)} = -\frac{x+2}{\sqrt{2-x} + x},
válido para x\neq1.

Passo 4

Agora substituímos x=1 na expressão simplificada, que é contínua em torno de 1:
\lim_{x\to1} -\frac{x+2}{\sqrt{2-x} + x} = -\frac{1+2}{\sqrt{2-1} + 1} = -\frac{3}{1+1} = -\frac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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