Resolva os seguintes limites:
(a) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\tan(x).
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo 0\cdot\infty. Vamos usar equivalentes de função trigonométrica perto de x=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Escrevendo \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}, vemos que ao aproximar x\to\tfrac{\pi}{2} temos \sin(x)\to1 e \cos(x)\to0, o que justifica a indeterminação.

Passo 3

Para obter um equivalente, faça a mudança de variável
t = x - \tfrac{\pi}{2},\quad t\to0.
Então
\cos(x)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+t\bigr)=-\sin(t)\sim -t
\sin(x)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}+t\bigr)=\cos(t)\sim 1

Passo 4

Substituindo esses equivalentes no produto, fica
(x-\tfrac{\pi}{2})\tan(x) = t\;\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \sim t\;\frac{1}{-t} = -1.
Logo o limite é -1.

Resposta

-1

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