Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
y^{\prime}=x y+x^{4} \operatorname{com} y(1)=1

Passo 1

O problema de Cauchy é
y' = x\,y + x^4,\quad y(1)=1.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' - x\,y = x^4.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int (-x)\,dx} = e^{-x^2/2}.

Passo 4

Multiplicando por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^2/2}\bigr) = x^4\,e^{-x^2/2}.
Integramos de 1 até x:
y\,e^{-x^2/2} - y(1)\,e^{-1/2} = \int_{1}^{x} t^4\,e^{-t^2/2}\,dt.

Passo 5

Como y(1)=1, temos
y(1)\,e^{-1/2} = e^{-1/2},
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y\,e^{-x^2/2} = e^{-1/2} + \int_{1}^{x} t^4\,e^{-t^2/2}\,dt.

Passo 6

Para a integral use u=t^2/2. A primitiva resulta em
\int_{1}^{x} t^4\,e^{-t^2/2}\,dt = -\bigl(x^4 +4x^2+8\bigr)e^{-x^2/2} +13\,e^{-1/2}.

Passo 7

Substituindo em
y\,e^{-x^2/2} = e^{-1/2} -\bigl(x^4+4x^2+8\bigr)e^{-x^2/2} +13\,e^{-1/2}
e multiplicando por e^{x^2/2}, vem
y(x) = -\bigl(x^4+4x^2+8\bigr) +14\,e^{(x^2-1)/2}.

Resposta

y(x) = 14\,e^{\frac{x^2-1}{2}} \;-\; x^4 \;-\;4x^2 \;-\;8.

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