Questão 1. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine se o limites existem ou não e calcule os valores no caso de existirem:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{2 x^{2}+y^{8}}.

Passo 1

O enunciado pede \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{4}}{2x^{2}+y^{8}}. Este é um limite de função de duas variáveis e vamos usar análise por trajetórias para verificar existência.

Passo 2

Na trajetória y=0 temos
f(x,0) = \frac{x\cdot 0^{4}}{2x^{2} + 0^{8}} = 0,
logo \lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Na trajetória x=k\,y^{4}, com k constante, substituímos em f:
f(k\,y^{4},y) = \frac{k\,y^{4}\cdot y^{4}}{2\,(k\,y^{4})^{2} + y^{8}} = \frac{k\,y^{8}}{2k^{2}y^{8} + y^{8}} = \frac{k}{2k^{2} + 1}.
Esse valor independe de y mas depende de k. Para k=0 0, para k=1 \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Como o valor do limite varia conforme a trajetória (depende de k), não há um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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