Questão 1. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine se o limites existem ou não e calcule os valores no caso de existirem: \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x y-y-2 x+2}{x-1}.
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x y - y - 2x + 2}{x - 1}.
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar manipulação algébrica para simplificar a forma indeterminada.
Passo 2
Tentamos a substituição direta: no numerador temos
x y - y - 2x + 2 \big|_{(1,1)} = 1\cdot1 - 1 - 2\cdot1 + 2 = 0
e no denominador
x - 1 \big|_{(1,1)} = 0,
logo aparece a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
Passo 3
Fatoramos o numerador em termos de x-1. Observe que
x y - y - 2x + 2 = y(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(y - 2).
Passo 4
Para x \neq 1 podemos simplificar
\frac{x y - y - 2x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1)(y - 2)}{x - 1} = y - 2.