Resolva os seguintes problemas de contorno pelo método da separação de variáveis de Fourier (Solução em Série de Fourier)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de calor
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de senos (Série de Fourier).
Passo 2
Pela separação de variáveis, a solução geral respeitando as condições de contorno é
onde os autovalores são
. Fica então
Passo 3
Os coeficientes
são dados pela fórmula da série de Fourier senoidal em
:
Precisamos calcular essa integral para cada
.
Passo 4
Fazendo integrações por partes duas vezes ou usando tabelas de integrais, obtém-se
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Como
para
par e
para
ímpar, concluímos
Passo 5
Substituindo
na série e lembrando que só termos ímpares aparecem, temos a solução final: