Resolva os seguintes problemas de contorno pelo método da separação de variáveis de Fourier (Solução em Série de Fourier)
\begin{aligned}u_{t} & =u_{x x}, \quad 0<x<100, t>0, \u(0, t) & =u(100, t)=0, \u(x, 0) & =x(100-x) ;\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de calor
u_{t} = u_{xx},\quad 0<x<100,\;t>0,
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(100,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x(100-x).
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de senos (Série de Fourier).

Passo 2

Pela separação de variáveis, a solução geral respeitando as condições de contorno é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,e^{-\lambda_n t}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{100}\bigr),
onde os autovalores são \lambda_n=(\tfrac{n\pi}{100})^2. Fica então
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\exp\Bigl(-\tfrac{n^2\pi^2}{100^2}t\Bigr)\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{100}\Bigr).

Passo 3

Os coeficientes B_n são dados pela fórmula da série de Fourier senoidal em [0,100]:
B_{n}=\frac{2}{100}\int_{0}^{100}x(100-x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{100}\Bigr)\,dx.
Precisamos calcular essa integral para cada n.

Passo 4

Fazendo integrações por partes duas vezes ou usando tabelas de integrais, obtém-se
\int_{0}^{100}x(100-x)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{100}\Bigr)\,dx =-2\frac{100^3}{(n\pi)^3}\Bigl[(-1)^n-1\Bigr].
Logo
B_{n}=\frac{2}{100}\Bigl(-2\frac{100^3}{(n\pi)^3}\bigl[(-1)^n-1\bigr]\Bigr) =-\frac{4\cdot100^3}{100\,(n\pi)^3}\bigl[(-1)^n-1\bigr].
Como (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar, concluímos
B_{n}=\begin{cases} \displaystyle\frac{80000}{(n\pi)^3},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 5

Substituindo B_n na série e lembrando que só termos ímpares aparecem, temos a solução final:
u(x,t) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{80000}{\bigl((2k+1)\pi\bigr)^3} \exp\!\Bigl(-\tfrac{(2k+1)^2\pi^2}{100^2}\,t\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{100}\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{80000}{\bigl((2k+1)\pi\bigr)^3} \exp\!\Bigl(-\tfrac{(2k+1)^2\pi^2}{100^2}\,t\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{100}\Bigr).

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