Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Considere
g(x, y)=3 x+2 y. Determine as derivadas parciais gx e gy.

Passo 1

Dado g(x,y)=3x+2y. O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais \,g_x e \,g_y. Informação fornecida: a expressão explícita de g em termos de x e y.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (em palavras simples): a derivada parcial de g em relação a x, escrita \dfrac{\partial g}{\partial x} ou g_x, mede como g varia quando só mexemos x e mantemos y fixo. Formalmente,
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{g(x,y+k)-g(x,y)}{k}.
Aqui h e k são incrementos pequenos; você pode pensar nisso como a definição de derivada comum, só que mantendo a outra variável constante.

Passo 3

Regras práticas que usamos na prova (sem complicar):
  • Se você tem um termo \,a x (onde a é constante) e deriva em relação a x, o resultado é a.
  • Se o termo não contém a variável com respeito à qual você deriva (por exemplo 2y ao derivar em x), ele é tratado como constante e sua derivada é 0.
    Essas regras vêm direto da definição de derivada e são as que usamos para acelerar os cálculos.

Passo 4

Calcule g_x passo a passo usando a definição (mostro também a conta direta):
Começo pela definição:
g(x+h,y)=3(x+h)+2y=3x+3h+2y.
Então
\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}=\frac{(3x+3h+2y)-(3x+2y)}{h}=\frac{3h}{h}=3.
Tomando h\to 0 o limite é 3. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=3.
(Intuição rápida: o termo 3x 3 e o termo 2y não depende de x, então dá 0.)

Passo 5

Calcule g_y passo a passo:
Usando a definição:
g(x,y+k)=3x+2(y+k)=3x+2y+2k.
Então
\frac{g(x,y+k)-g(x,y)}{k}=\frac{(3x+2y+2k)-(3x+2y)}{k}=\frac{2k}{k}=2.
Tomando k\to 0 o limite é 2. Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2.
(Intuição: o termo 2y 2 e o termo 3x não depende de y, então dá 0.)

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: as derivadas parciais são constantes aqui porque g é uma função linear em x e y. O vetor gradiente é constante (3,2), que indica que ao mover 1 unidade em x mantendo y fixo g aumenta em 3; ao mover 1 unidade em y mantendo x fixo g aumenta em 2. Dica prática: em provas, identifique o coeficiente da variável em questão — é quase sempre a resposta quando a função é linear.

Resposta

\displaystyle g_x(x,y)=3\n \displaystyle g_y(x,y)=2

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