Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Considere
g(x, y)=3 x+2 y. Determine as derivadas parciais gx e gy.
Considere
g(x, y)=3 x+2 y. Determine as derivadas parciais gx e gy.
Passo 1
Dado
. O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais
e
. Informação fornecida: a expressão explícita de
em termos de
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (em palavras simples): a derivada parcial de
em relação a
, escrita
ou
, mede como
varia quando só mexemos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Aqui
e
são incrementos pequenos; você pode pensar nisso como a definição de derivada comum, só que mantendo a outra variável constante.
Passo 3
Regras práticas que usamos na prova (sem complicar):
- Se você tem um termo
(onde é constante) e deriva em relação a , o resultado é . - Se o termo não contém a variável com respeito à qual você deriva (por exemplo
ao derivar em ), ele é tratado como constante e sua derivada é .
Essas regras vêm direto da definição de derivada e são as que usamos para acelerar os cálculos.
Passo 4
Calcule
passo a passo usando a definição (mostro também a conta direta):
Começo pela definição:
Começo pela definição:
Então
Tomando
o limite é
. Portanto
(Intuição rápida: o termo
dá
e o termo
não depende de
, então dá
.)
Passo 5
Calcule
passo a passo:
Usando a definição:
Usando a definição:
Então
Tomando
o limite é
. Portanto
(Intuição: o termo
dá
e o termo
não depende de
, então dá
.)
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova: as derivadas parciais são constantes aqui porque
é uma função linear em
e
. O vetor gradiente é constante
, que indica que ao mover 1 unidade em
mantendo
fixo
aumenta em
; ao mover 1 unidade em
mantendo
fixo
aumenta em
. Dica prática: em provas, identifique o coeficiente da variável em questão — é quase sempre a resposta quando a função é linear.