Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para u(x, y, z)=x+y+z, calcule ux, uy e uz.

Passo 1

O enunciado dá a função \;u(x,y,z)=x+y+z\; e pede para calcular as derivadas parciais \;u_x,\;u_y e \;u_z.\n
Informações relevantes:\n
  • A função depende de três variáveis: \;x,\;y,\;z.\n
  • Precisamos das derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis (ou seja, derivar em relação a \;x mantendo \;y,z constantes; derivar em relação a \;y mantendo \;x,z constantes; e assim por diante).\n

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar:\n
  • A derivada parcial de \;u em relação a \;x mede como \;u muda quando só mudamos \;x, mantendo \;y e \;z fixos.\n
  • Formalmente, a derivada parcial em relação a \;x é definida por \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h,y,z)-u(x,y,z)}{h}.\n
  • O mesmo esquema vale para \;y e \;z: basta acrescentar o incremento na variável desejada e dividir por \;h, depois tomar o limite.\n
    Explicando as letras: na fórmula acima, \;h é um incremento pequeno (número real) que fazemos em \;x; \;y e \;z ficam exatamente os mesmos valores de antes enquanto fazemos esse incremento.\n

Passo 3

Calcular \;u_x (derivada parcial em relação a \;x) usando a definição.\n
  1. Calculo u(x+h,y,z): u(x+h,y,z)=(x+h)+y+z.\n
  2. Faço a diferença u(x+h,y,z)-u(x,y,z): (x+h)+y+z - (x+y+z)=h.\n
  3. Divido por \;h e tomo o limite: \frac{u(x+h,y,z)-u(x,y,z)}{h}=\frac{h}{h}=1\quad\text{para }h\neq 0,
\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h,y,z)-u(x,y,z)}{h}=1.\n
Portanto \;u_x=1.\n

Passo 4

Calcular \;u_y (derivada parcial em relação a \;y). Mesmo procedimento, agora incrementamos \;y mantendo \;x,z fixos.\n
  1. Calculo u(x,y+h,z): u(x,y+h,z)=x+(y+h)+z.\n
  2. Diferença: x+(y+h)+z - (x+y+z)=h.\n
  3. Dividindo por \;h e fazendo o limite: \frac{u(x,y+h,z)-u(x,y,z)}{h}=\frac{h}{h}=1,
\lim_{h\to 0}\frac{u(x,y+h,z)-u(x,y,z)}{h}=1.\n
Portanto \;u_y=1.\n

Passo 5

Calcular \;u_z (derivada parcial em relação a \;z). Mesma ideia: incrementar \;z e manter \;x,y constantes.\n
  1. Calculo u(x,y,z+h): u(x,y,z+h)=x+y+(z+h).\n
  2. Diferença: x+y+(z+h) - (x+y+z)=h.\n
  3. Dividindo por \;h e limitando: \frac{u(x,y,z+h)-u(x,y,z)}{h}=\frac{h}{h}=1,
\lim_{h\to 0}\frac{u(x,y,z+h)-u(x,y,z)}{h}=1.\n
Portanto \;u_z=1.\n

Passo 6

Comentário final e dica para a prova:\n
  • Quando a função é linear nas variáveis, como \;u(x,y,z)=x+y+z, cada coeficiente da variável é exatamente a derivada parcial em relação àquela variável. Aqui os coeficientes de \;x,\;y,\;z são todos \;1, então todas as derivadas parciais são \;1.\n
  • Dica prática: ao ver termos do tipo \;ax, a derivada parcial em relação a \;x é \;a; termos que não dependem da variável em questão viram constante (derivada zero). Isso agiliza muito na prova.\n

Resposta

u_x=1\n
u_y=1\n
u_z=1

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