Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para u(x, y, z)=x+y+z, calcule ux, uy e uz.
Para u(x, y, z)=x+y+z, calcule ux, uy e uz.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais
e
.\n
Informações relevantes:\n
Informações relevantes:\n
- A função depende de três variáveis:
.\n - Precisamos das derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis (ou seja, derivar em relação a
mantendo constantes; derivar em relação a mantendo constantes; e assim por diante).\n
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar:\n
- A derivada parcial de
em relação a mede como muda quando só mudamos , mantendo e fixos.\n - Formalmente, a derivada parcial em relação a
é definida por \n - O mesmo esquema vale para
e : basta acrescentar o incremento na variável desejada e dividir por , depois tomar o limite.\n
Explicando as letras: na fórmula acima,é um incremento pequeno (número real) que fazemos em ; e ficam exatamente os mesmos valores de antes enquanto fazemos esse incremento.\n
Passo 3
Calcular
(derivada parcial em relação a
) usando a definição.\n
- Calculo
: \n - Faço a diferença
: \n - Divido por
e tomo o limite:
Portanto
.\n
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
). Mesmo procedimento, agora incrementamos
mantendo
fixos.\n
- Calculo
: \n - Diferença:
\n - Dividindo por
e fazendo o limite:
Portanto
.\n
Passo 5
Calcular
(derivada parcial em relação a
). Mesma ideia: incrementar
e manter
constantes.\n
- Calculo
: \n - Diferença:
\n - Dividindo por
e limitando:
Portanto
.\n
Passo 6
Comentário final e dica para a prova:\n
- Quando a função é linear nas variáveis, como
, cada coeficiente da variável é exatamente a derivada parcial em relação àquela variável. Aqui os coeficientes de são todos , então todas as derivadas parciais são .\n - Dica prática: ao ver termos do tipo
, a derivada parcial em relação a é ; termos que não dependem da variável em questão viram constante (derivada zero). Isso agiliza muito na prova.\n