Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja v(x, y)=x^{2} e^{y}. Calcule vx, vy e vxy.

Passo 1

Enunciado dado: a função é v(x,y)=x^{2}e^{y}.
O que o problema pede: calcular \;v_x, \;v_y e \;v_{xy}.
Informações relevantes: a função depende de duas variáveis x e y; e^{y} é a exponencial de y.

Passo 2

Conceito importante (passo a passo): definição de derivada parcial em relação a x.
A derivada parcial de v em relação a x em (x,y) é
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h},
ou, na prática, para calcular \partial/\partial x, tratamos y como constante.
Aqui v(x,y)=x^{2}e^{y}. Como e^{y} é constante quando derivamos em relação a x, podemos considerar um fator constante e derivar x^{2}. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Portanto, multiplicando pelo fator constante e^{y}, obtemos
v_x(x,y)=2x\,e^{y}.
(Se preferir ver pela definição: v(x+h,y)=(x+h)^2 e^{y}=(x^2+2xh+h^2)e^{y}, daí \frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}=(2x+h)e^{y} e, ao fazer h\to0, dá 2x e^{y}.)

Passo 3

Conceito importante: derivada parcial em relação a y.
A derivada parcial de v em relação a y é
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{k},
ou, na prática, para calcular \partial/\partial y, tratamos x como constante.
Em v(x,y)=x^{2}e^{y}, x^{2} é constante quando derivamos em relação a y. A derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}. Assim,
v_y(x,y)=x^{2}\,e^{y}.
(Outra forma: v(x,y+k)=x^2 e^{y+k}=x^2 e^{y}e^{k}; a diferença dividida por k tende a x^2 e^{y} quando k\to0.)

Passo 4

Definição de derivada mista e cálculo de \;v_{xy}.
A derivada mista \;v_{xy} significa primeiro derivar v em relação a x e depois o resultado em relação a y:
v_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)\bigg).
Já temos \;v_x(x,y)=2x e^{y}. Para obter \;v_{xy} derivamos essa expressão em relação a y, tratando x como constante. A derivada de e^{y} é e^{y}, e 2x é fator constante, logo
v_{xy}(x,y)=2x\,e^{y}.

Passo 5

Observação adicional curta e incentivadora: aqui deu para ver que \;v_x e \;v_{xy} ficaram bem parecidas porque a dependência em y é via e^{y}. Se estiver nervoso na prova, lembre-se: ao derivar parcialmente, sempre congele a outra variável; exponencial deriva para ela mesma; potência \,x^n deriva dando n x^{n-1}.

Resposta

v_x(x,y)=2x\,e^{y}
v_y(x,y)=x^{2}\,e^{y}
v_{xy}(x,y)=2x\,e^{y}

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