Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja v(x, y)=x^{2} e^{y}. Calcule vx, vy e vxy.
Seja v(x, y)=x^{2} e^{y}. Calcule vx, vy e vxy.
Passo 1
Enunciado dado: a função é
.
O que o problema pede: calcular ,
e
.
Informações relevantes: a função depende de duas variáveis e
;
é a exponencial de
.
O que o problema pede: calcular
Informações relevantes: a função depende de duas variáveis
Passo 2
Conceito importante (passo a passo): definição de derivada parcial em relação a
.
A derivada parcial de em relação a
em
é
A derivada parcial de
ou, na prática, para calcular
, tratamos
como constante.
Aqui . Como
é constante quando derivamos em relação a
, podemos considerar um fator constante e derivar
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto, multiplicando pelo fator constante
, obtemos
Aqui
(Se preferir ver pela definição:
, daí
e, ao fazer
, dá
.)
Passo 3
Conceito importante: derivada parcial em relação a
.
A derivada parcial de em relação a
é
A derivada parcial de
ou, na prática, para calcular
, tratamos
como constante.
Em ,
é constante quando derivamos em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Em
(Outra forma:
; a diferença dividida por
tende a
quando
.)
Passo 4
Definição de derivada mista e cálculo de
.
A derivada mista significa primeiro derivar
em relação a
e depois o resultado em relação a
:
A derivada mista
Já temos
. Para obter
derivamos essa expressão em relação a
, tratando
como constante. A derivada de
é
, e
é fator constante, logo
Passo 5
Observação adicional curta e incentivadora: aqui deu para ver que
e
ficaram bem parecidas porque a dependência em
é via
. Se estiver nervoso na prova, lembre-se: ao derivar parcialmente, sempre congele a outra variável; exponencial deriva para ela mesma; potência
deriva dando
.