Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Considere s(x, y)=cos (x y). Calcule sx e sy.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a função \;s(x,y)=\cos(xy)\;.\n
O que se pede:\n
Calcular as derivadas parciais \;s_x\; e \;s_y\;.\n
Informações relevantes dadas:\n
\;s\; está dada por uma composição entre a função \cos e a função (x,y)\mapsto xy. Não há restrições de domínio além das já naturais para \cos (toda \mathbb{R}).

Passo 2

Definição e ideia das derivadas parciais:\n
A derivada parcial de \;s\; em relação a \;x\; em um ponto (x_0,y_0) é, por definição,
s_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{s(x_0+h,y_0)-s(x_0,y_0)}{h},
ou seja, varia-se apenas \;x\; mantendo \;y\; fixo. Analogamente,
s_y(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{s(x_0,y_0+h)-s(x_0,y_0)}{h},
variando apenas \;y\; e mantendo \;x\; fixo. Na prática, para funções compostas como \cos(xy) usamos a regra da cadeia (chain rule) para simplificar o cálculo.

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática):\n
Se tivermos uma função \;s(x,y)=f(u(x,y))\; com f de uma variável e u função de (x,y), então
\frac{\partial s}{\partial x}=f'\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
porque, intuitivamente, ao alterar \;x\; s muda através da variação de \;u\;. Aqui f=\cos e u(x,y)=xy. Sabemos que a derivada de f é f'(u)=-\sin(u). Então já temos a parte f'\bigl(u(x,y)\bigr)=-\sin(xy).

Passo 4

Calcular \partial u/\partial x e \partial u/\partial y onde \;u(x,y)=xy\;:\n
Trate \;y\; como constante quando derivamos em relação a \;x\;. Como \;u(x,y)=x\cdot y\; é uma função linear em \;x\;,
\frac{\partial u}{\partial x}=y.
Analogamente, tratando \;x\; como constante ao derivar em relação a \;y\;,
\frac{\partial u}{\partial y}=x.
(Outra forma: ver isso como regra do produto mas aqui é imediato pois um dos fatores é a variável e o outro é constante.)

Passo 5

Combinar a regra da cadeia para obter \;s_x\;:\n
Usando \;f'(u)=-\sin(u)\; com u=xy e \;\partial u/\partial x = y\;, obtemos
s_x(x,y)= -\sin(xy)\cdot y.
Costuma-se escrever multiplicando o escalar à esquerda ou à direita; portanto
s_x(x,y)=-y\sin(xy).

Passo 6

Combinar a regra da cadeia para obter \;s_y\;:\n
Usando \;f'(u)=-\sin(u)\; com u=xy e \;\partial u/\partial y = x\;, obtemos
s_y(x,y)= -\sin(xy)\cdot x.
Ou, reorganizando,
s_y(x,y)=-x\sin(xy).

Passo 7

Pequena verificação numérica rápida (para fixar a ideia):\n
Por exemplo, em (x,y)=(\pi,1) temos \sin(\pi\cdot 1)=0, logo \;s_x(\pi,1)=-1\cdot 0=0\; e \;s_y(\pi,1)=-\pi\cdot 0=0\;. Faz sentido: \cos(\pi)= -1 é constante numa vizinhança em termos de produto \pi\cdot 1 ter seno zero ali.

Resposta

s_x(x,y)=-y\sin(xy)\n
s_y(x,y)=-x\sin(xy)

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