Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Considere s(x, y)=cos (x y). Calcule sx e sy.
Considere s(x, y)=cos (x y). Calcule sx e sy.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a função .\n
O que se pede:\n
Calcular as derivadas parciais e
.\n
Informações relevantes dadas:\n
está dada por uma composição entre a função
e a função
. Não há restrições de domínio além das já naturais para
(toda
).
Temos a função
O que se pede:\n
Calcular as derivadas parciais
Informações relevantes dadas:\n
Passo 2
Definição e ideia das derivadas parciais:\n
A derivada parcial de em relação a
em um ponto
é, por definição,
A derivada parcial de
ou seja, varia-se apenas
mantendo
fixo. Analogamente,
variando apenas
e mantendo
fixo. Na prática, para funções compostas como
usamos a regra da cadeia (chain rule) para simplificar o cálculo.
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática):\n
Se tivermos uma função com
de uma variável e
função de
, então
Se tivermos uma função
porque, intuitivamente, ao alterar
muda através da variação de
. Aqui
e
. Sabemos que a derivada de
é
. Então já temos a parte
.
Passo 4
Calcular
e
onde
:\n
Trate como constante quando derivamos em relação a
. Como
é uma função linear em
,
Trate
Analogamente, tratando
como constante ao derivar em relação a
,
(Outra forma: ver isso como regra do produto mas aqui é imediato pois um dos fatores é a variável e o outro é constante.)
Passo 5
Combinar a regra da cadeia para obter
:\n
Usando com
e
, obtemos
Usando
Costuma-se escrever multiplicando o escalar à esquerda ou à direita; portanto
Passo 6
Combinar a regra da cadeia para obter
:\n
Usando com
e
, obtemos
Usando
Ou, reorganizando,
Passo 7
Pequena verificação numérica rápida (para fixar a ideia):\n
Por exemplo, em temos
, logo
e
. Faz sentido:
é constante numa vizinhança em termos de produto
ter seno zero ali.
Por exemplo, em