Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Economia) Dada a função
q(x, y)=ln (xy), que representa uma função de utilidade, calcule qx e qy. Interprete como utilidade marginal.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis q(x,y)=\ln(xy) e pede duas coisas:
  1. Calcular as derivadas parciais q_x e q_y.
  2. Interpretar essas derivadas como utilidade marginal.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é q(x,y)=\ln(xy).
  • Para que \ln(xy) esteja definida precisamos de xy>0. Em aplicações de utilidade normalmente consideramos x>0 e y>0.

Passo 2

Conceito necessário (explicado com calma): o que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de q em relação a x, denotada q_x, mede a taxa de variação de q quando apenas x varia e y é mantido fixo. Analogamente q_y mede a variação quando y varia e x fica fixo.
  • Em termos formais, se q(x,y)=f(u(x,y)) com u dependendo de x e y, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: \frac{\partial}{\partial x} f(u(x,y)) = f'(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Vou aplicar isso a f(t)=\ln t e u(x,y)=xy.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para q(x,y)=\ln(u) com u(x,y)=xy:
  • Derivada de f(t)=\ln t em relação a t é f'(t)=\dfrac{1}{t}.
  • Derivada parcial de u(x,y)=xy em relação a x, mantendo y constante, é \dfrac{\partial u}{\partial x}=y.
Logo,
q_x=\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora faço q_y de forma análoga:
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=x.
  • Aplicando a regra da cadeia,
q_y=\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac{1}{y}.

Passo 5

Uma forma alternativa (mais direta) que ajuda a verificar: usar a identidade logarítmica \ln(xy)=\ln x+\ln y. Derivando parcialmente:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(\ln x+\ln y)=\dfrac{1}{x}+0=\dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(\ln x+\ln y)=0+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}.
    Isso confirma os resultados anteriores.

Passo 6

Interpretação econômica (utilidade marginal), explicada devagar:
  • A utilidade marginal do bem x é q_x. Aqui temos q_x=\dfrac{1}{x}. Isso significa que, mantendo y fixo, um pequeno aumento unitário em x aumenta a utilidade em aproximadamente \dfrac{1}{x}.
  • A utilidade marginal do bem y é q_y. Aqui q_y=\dfrac{1}{y}: mantendo x fixo, um pequeno aumento em y aumenta a utilidade em aproximadamente \dfrac{1}{y}.
  • Observação intuitiva: essas utilidades marginais decrescem com o nível do bem (se x aumenta, \dfrac{1}{x} diminui) — isso é o comportamento de utilidade marginal decrescente.
Exemplo numérico rápido (para sentir a coisa): se x=2 e y=3, então q_x=\dfrac{1}{2}=0{,}5 e q_y=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333. Ou seja, aumentar x em uma unidade (ceteris paribus) adiciona cerca de 0{,}5 unidades de utilidade; aumentar y em uma unidade adiciona cerca de 0{,}333.

Passo 7

Dica prática para prova (passos que você pode repetir facilmente):
  1. Verifique domínio ( x>0,y>0 aqui).
  2. Ou aplique a regra da cadeia com u=xy e f=\ln, ou transforme \ln(xy) em \ln x+\ln y e derive termo a termo.
  3. Lembre-se do significado econômico: derivada parcial = utilidade marginal (variação de q ao aumentar uma variável mantendo a outra constante).

Resposta

q_x=\dfrac{1}{x}, q_y=\dfrac{1}{y}\nA utilidade marginal de x é q_x=\dfrac{1}{x} e a de y é q_y=\dfrac{1}{y}; elas medem o acréscimo na utilidade ao aumentar x ou y em uma unidade, ceteris paribus (com x>0,\;y>0).

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