Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Economia) Dada a função
q(x, y)=ln (xy), que representa uma função de utilidade, calcule qx e qy. Interprete como utilidade marginal.
(Economia) Dada a função
q(x, y)=ln (xy), que representa uma função de utilidade, calcule qx e qy. Interprete como utilidade marginal.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede duas coisas:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Interpretar essas derivadas como utilidade marginal.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Para que
esteja definida precisamos de . Em aplicações de utilidade normalmente consideramos e .
Passo 2
Conceito necessário (explicado com calma): o que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando apenas varia e é mantido fixo. Analogamente mede a variação quando varia e fica fixo. - Em termos formais, se
com dependendo de e , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Vou aplicar isso a
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para
com
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada parcial de
em relação a , mantendo constante, é .
Logo,
Passo 4
Agora faço
de forma análoga:
-
. - Aplicando a regra da cadeia,
Passo 5
Uma forma alternativa (mais direta) que ajuda a verificar: usar a identidade logarítmica
. Derivando parcialmente:
-
. -
.
Isso confirma os resultados anteriores.
Passo 6
Interpretação econômica (utilidade marginal), explicada devagar:
- A utilidade marginal do bem
é . Aqui temos . Isso significa que, mantendo fixo, um pequeno aumento unitário em aumenta a utilidade em aproximadamente . - A utilidade marginal do bem
é . Aqui : mantendo fixo, um pequeno aumento em aumenta a utilidade em aproximadamente . - Observação intuitiva: essas utilidades marginais decrescem com o nível do bem (se
aumenta, diminui) — isso é o comportamento de utilidade marginal decrescente.
Exemplo numérico rápido (para sentir a coisa): se
e
, então
e
. Ou seja, aumentar
em uma unidade (ceteris paribus) adiciona cerca de
unidades de utilidade; aumentar
em uma unidade adiciona cerca de
.
Passo 7
Dica prática para prova (passos que você pode repetir facilmente):
- Verifique domínio (
aqui). - Ou aplique a regra da cadeia com
e , ou transforme em e derive termo a termo. - Lembre-se do significado econômico: derivada parcial = utilidade marginal (variação de
ao aumentar uma variável mantendo a outra constante).